Exponential- und Logarithmusfunktion

Wenn eine zeitabhängige Größe G
mit Anfangsbestand B
während der Zeit t
in gleichen Zeitintervallen T
um den gleichen (Wachstums-)Faktor a größer wird,

dann wächst diese Größe G = G(t) in der Zeit t exponentiell:

$G(t) = B * a^{\frac{t}{T}$

Die Formel drückt sowohl exponentielles Wachstum als auch exponentiellen Zerfall aus.

0<a<1:	exponentieller Zerfall
a>1:	exponentielles Wachstum

Wenn sich beispielsweise ein Anfangbestand von zwei alle sechs Tage verdreifacht, dann hat man folgende Parameter:

Anfangsbestand B=G(0) = 2
Zeitintervallen T = 6 Tage
Wachstumsfaktor a = 3

$G(t) = 2 * 3^{\frac{t}{6}$

wobei die Zeit t in Tagen gemessen wird.

Aufgabe: Wie groß ist G nach 30 Tagen?

Lösung: Man setze t=30 ein und erhält G(30) = 486 Tage:

$G(30) = 2 * 3^{\frac{30}{6}} = 486$

Aber wie rechnet man, wenn die Aufgabe lautet: Nach wie vielen Tage ist G = 162?

Dann braucht man zur Lösung die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
Diese Funktion heißt Logarithmus zur Basis a: $log_a(x)$
Umkehrfunktion heißt, wenn man diese in das Funktionsargument x einsetzt ergibt das wieder x:

$log_a(a^x) = x$

$a^{log_a(x)}=x$

Das ist das Wesen der Umkehrfunktion. Grafisch dargestellt ergibt sich diese als an der Winkelhalbierenden gespiegelte Funktion.

Beispielsweise ist auch die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion:

$\sqrt{x^2}=x$

${\sqrt{x}}^2=x$

Dies wird sofort klar, wenn man sich daran erinnert, dass gilt:

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{x^2} = x^{2 *\frac{1}{2}} = x^{1}=x$

Es gilt auch: Die n-te Wurzel aus x ist die Umkehrfunktion zur n-ten Potenz.

Zurück zur Aufgabe von oben „Nach wie vielen Tagen ist G = 162?“ Oder anders gefragt: Für welches t gilt ?

$G(t) =162 = 2 * 3^{\frac{t}{6}}$

$162 = 2 * 3^{\frac{t}{6}} |:2$

$81 = 3^{\frac{t}{6}} |log_{3}$

$log_{3}{(81)} = \frac{t}{6}$

$4 = \frac{t}{6} | *6$

$24 = t$

Nach 24 Tagen ist die Größe 162.

Beim expontiellen Zerfall interessiert man sich auch oft für die Halbwertzeit. Bzw. der exponentielle Zerfall wird in Form der Halbwertzeit angegeben, wie beispielsweise bei radioaktiven Endprodukten wie Plutonium 239 und 240 der zivilen oder militärischen Nutzung der Kernspaltung von Uran-238. Bis heute wurden weltweit etwa Tausend Tonnen Plutonium erzeugt.

Das Isotop Plutonium 239 hat eine Halbwertzeit von 24.110 Jahren. Die Formel für den radioaktiven Zerfall ergibt sich zu:

$G(t) = G(0)* (\frac{1}{2})^{\frac{t}{24.110}}$

Von einem Anfangsbestand von G(0)=1 mg Plutonium 239 ist nach einem langen Menschenleben von 100 Jahren noch 0,997 mg übrig:

$G(100) = 1 * (\frac{1}{2})^{\frac{100}{24.110}} = 0,997$