Potenzen und Wurzeln

Lernziel: Du kannst Potenzen berechnen, Potenzgesetze anwenden und Wurzeln als Potenzen schreiben. Voraussetzung: Multiplikation und Bruchrechnung.

Was bedeutet eine Potenz?

In 2⁴ ist 2 die Basis und 4 der Exponent. Ein positiver ganzzahliger Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Achtung: Das ist nicht 2 · 4.

Die wichtigsten Potenzgesetze

Für die folgende Regelsammlung nehmen wir positive Basen x und y an. Damit sind auch gebrochene Exponenten eindeutig als reelle Zahlen definiert.

Bei der Multiplikation mit gleicher Basis addierst du die Exponenten; beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie. Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert: 2⁻³ = 1/8.

Wurzeln als Potenzen

Beispiel: 16^1/2 = √16 = 4 und 8^2/3 = (∛8)² = 4. Bei geraden Wurzeln sind negative Radikanden in den reellen Zahlen nicht erlaubt. Die Quadratwurzel bezeichnet immer die nichtnegative Lösung: √9 = 3.

Vorzeichen, Null und typische Fehler

• (−3)² = 9, aber −3² = −9: Die Klammer entscheidet, ob das Minus mit potenziert wird.
• Für x ≠ 0 gilt x⁰ = 1. Der Ausdruck 0⁰ ist in dieser Schulregelliste nicht definiert. Negative Exponenten sind bei der Basis 0 ebenfalls nicht definiert.
• Potenzen verteilen sich im Allgemeinen nicht über Summen: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13.
• Für jede reelle Zahl x gilt √(x²) = |x|. Beispiel: √((−5)²) = 5.

Übungsaufgaben

1. Berechne 3² · 3⁴.
2. Vereinfache (x³)²/x⁴ für x > 0.
3. Berechne 25^1/2, 2⁻⁴ und (−2)³.
4. Erkläre, warum √(a + b) nicht allgemein √a + √b ist.

Lösungen anzeigen

1. 3⁶ = 729.
2. x⁶/x⁴ = x².
3. 5; 1/16; −8.
4. Gegenbeispiel a = b = 1: links √2, rechts 2.

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