Kategorie: Rechnen

Bewegung verstehen: Kinematik, Kinetik, Ableitung und Integral

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Oktober 8, 2026
1 Kommentar zu Bewegung verstehen: Kinematik, Kinetik, Ableitung und Integral

Lernziel: Du verknüpfst Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung und erkennst Ableitung und Integral im Sachzusammenhang. Grundlagen ab etwa Klasse 9; der Abschnitt zu Ableitung und Integral richtet sich an die Oberstufe.

Kinematik und Kinetik unterscheiden

Kinematik beschreibt, wie sich etwas bewegt. Kinetik untersucht die Bewegung unter dem Einfluss von Kräften. Für die angekündigte Verbindung von Bewegung mit Ableitung und Integral beginnen wir mit der Kinematik und ergänzen anschließend die Kraftwirkung.

Wir betrachten eine Bewegung entlang einer geraden Achse. x(t) ist der Ort; sein Vorzeichen bezieht sich auf einen gewählten Nullpunkt. Die Ortsänderung Δx = x(t₂) − x(t₁) kann negativ sein. Sie ist nicht immer gleich der zurückgelegten Weglänge, etwa wenn jemand hin- und zurückläuft.

Größe	Zeichen	Einheit
Zeit	t	Sekunde (s)
Ort	x	Meter (m)
Geschwindigkeit	v	Meter pro Sekunde (m/s)
Beschleunigung	a	Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²)
Kraft	F	Newton (N)

Mittlere Geschwindigkeit

$\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Ein Fahrrad legt geradlinig 120 m in 20 s in positiver Richtung zurück. Seine mittlere Geschwindigkeit ist 120/20 = 6 m/s. Für km/h multiplizierst du mit 3,6: 21,6 km/h. Umgekehrt entspricht 72 km/h einer Geschwindigkeit von 20 m/s.

Die mittlere Geschwindigkeit über ein Intervall sagt noch nicht, wie schnell das Fahrrad in jedem Augenblick war. Bei 10 m hin und 10 m zurück in 10 s ist die mittlere Geschwindigkeit aus der Ortsänderung 0 m/s, die mittlere Schnelligkeit aus dem Weg aber 20/10 = 2 m/s.

Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung

$v(t)=x'(t),\qquad a(t)=v'(t)=x''(t)$

Die Ableitung beschreibt eine momentane Änderungsrate. Im Ort-Zeit-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Tangentensteigung. Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm entspricht die Beschleunigung der Steigung. Ein waagerechter Ort-Graph bedeutet Stillstand; ein waagerechter Geschwindigkeitsgraph bedeutet konstante Geschwindigkeit.

Durchgerechnetes Beispiel

Für t in Sekunden sei der Zahlenwert des Ortes in Metern durch x(t) = t² + 2t gegeben. Dann lauten die Zahlenwertfunktionen v(t) = 2t + 2 und a(t) = 2. Die Einheiten sind m/s beziehungsweise m/s².

t in s	x(t) in m	v(t) in m/s
0	0	2
1	3	4
2	8	6
3	15	8

Zwischen t = 1 s und t = 3 s beträgt die Ortsänderung 15 − 3 = 12 m. Die mittlere Geschwindigkeit ist 12 m / 2 s = 6 m/s. Bei t = 3 s ist die Momentangeschwindigkeit dagegen 8 m/s.

Mit dem Integral zurück zum Ort

$x(t_2)-x(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt$

Im Beispiel ist eine Stammfunktion von 2t + 2 der Ausdruck t² + 2t. Also ergibt das Integral von 1 bis 3 den Wert (9 + 6) − (1 + 2) = 12 m. Für den absoluten Ort brauchst du zusätzlich einen Anfangsort.

$x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau$

Flächen unterhalb der Zeitachse zählen beim Integral negativ. Für die tatsächlich zurückgelegte Weglänge integrierst du |v(t)|. Die Aufgabe „Wie weit gefahren?“ verlangt deshalb gegebenenfalls eine Aufteilung an den Zeitpunkten eines Richtungswechsels.

Konstante Beschleunigung und Kraft

$v(t)=v_0+at,\qquad x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$

Diese Formeln gelten für konstante Beschleunigung und den Startzeitpunkt t = 0. Eine negative Beschleunigung bedeutet nicht immer Bremsen: Bei negativer Geschwindigkeit und negativer Beschleunigung nimmt die Schnelligkeit zu.

$F_{\mathrm{res}}=m\cdot a$

In der klassischen Mechanik gilt bei konstanter Masse im Inertialsystem: Die resultierende Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Für m = 2 kg und a = 3 m/s² ergibt sich F = 6 N. Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist die resultierende Kraft null; einzelne Kräfte können sich dabei gegenseitig ausgleichen.

Übungsaufgaben

Wandle 90 km/h in m/s um.
Für t in s und x in m gilt x(t) = 3t². Bestimme v(t), a(t) und v(2).
Ein Körper fährt 4 s lang mit v = −3 m/s. Bestimme Ortsänderung und Weglänge.
Eine resultierende Kraft von 10 N wirkt auf 5 kg. Bestimme die Beschleunigung.

Lösungen anzeigen

90/3,6 = 25 m/s.
v(t) = 6t m/s bei t als Zahlenwert in Sekunden; a = 6 m/s²; v(2) = 12 m/s.
Ortsänderung −12 m; Weglänge 12 m.
a = F/m = 2 m/s².

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Zinsrechnung und Zinseszins: Schritt für Schritt

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Oktober 8, 2026
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Lernziel: Du berechnest Zinsen, unterscheidest einfache Verzinsung und Zinseszins und kannst Kapital, Zinssatz oder Laufzeit ermitteln. Voraussetzung: Prozentrechnung und Potenzen.

Was sind Zinsen?

Zinsen sind ein Entgelt für die zeitweise Überlassung von Geld. Beim Sparen kannst du Zinsen erhalten; bei einem Kredit zahlst du üblicherweise Zinsen. Wir rechnen hier mit einem vereinfachten Modell: konstanter Zinssatz, keine Gebühren und keine Steuern. Die angegebenen Sätze sind Rechenbeispiele, keine aktuellen Angebote.

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
K	Kapital	1 000 €
p	Zinssatz als Prozentzahl	3
r = p/100	Zinssatz als Dezimalzahl	0,03
Z	Zinsbetrag	30 € nach einem Jahr

Zinsen für ein Jahr

$Z=K\cdot\frac{p}{100}=K\cdot r$

Beispiel: 1 000 € werden für ein Jahr zu 3 % verzinst. Z = 1 000 € · 0,03 = 30 €. Am Jahresende sind Kapital und Zins zusammen 1 030 €.

Kürzere Zeiträume: die Annahme angeben

Bei einfacher zeitanteiliger Verzinsung gilt Z = K · r · t, wobei t in Jahren gemessen wird. Für sechs Monate setzen wir im vereinfachten Monatsmodell t = 6/12 ein. Aus 1 000 € zu 3 % werden so 15 € Zinsen.

Bei Tagesaufgaben muss die Zählmethode vorgegeben sein. Im kaufmännischen 30/360-Modell werden Monate mit 30 und Jahre mit 360 Tagen gerechnet. Andere Verträge verwenden tatsächliche Tage und andere Jahreslängen. Die Methode darfst du nicht stillschweigend wechseln.

Zinseszins: Zinsen werden wieder mitverzinst

Bleiben die Zinsen auf dem Konto, wächst der Grundwert für das nächste Jahr. Bei jährlicher Gutschrift und konstantem Zinssatz gilt:

$K_n=K_0(1+r)^n$

Jahr	Rechnung	Kapital am Jahresende
1	1 000 · 1,03	1 030,00 €
2	1 030 · 1,03	1 060,90 €
3	1 060,90 · 1,03	1 092,73 €

Ohne Wiederanlage wären es nach drei Jahren 1 000 € + 3 · 30 € = 1 090 €. Mit Zinseszins ergeben sich rechnerisch 1 092,727 €, auf Cent gerundet 1 092,73 €. Bei Aufgaben möglichst erst am Ende runden, sofern keine jährliche Rundung vorgegeben ist.

Rückwärts rechnen

$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n},\qquad r=\left(\frac{K_n}{K_0}\right)^{1/n}-1$

$n=\frac{\ln(K_n/K_0)}{\ln(1+r)}\qquad(r>0)$

Beispiel: Bei 5 % soll sich ein Anfangskapital verdoppeln. n = ln(2)/ln(1,05) ≈ 14,21. Werden Zinsen nur jährlich gutgeschrieben und sind volle Jahre gefragt, wird die Verdopplung erstmals nach 15 Jahren erreicht.

Typische Fehler

3 % als 3 statt als 0,03 einsetzen.
Den Faktor 1,03 mit dem Zinsbetrag verwechseln.
Bei mehreren Jahren immer nur den ursprünglichen Zins addieren, obwohl Zinseszins gefragt ist.
Aus dem Rechenmodell auf reale Kaufkraft schließen: Inflation, Steuern und Kosten sind hier nicht berücksichtigt.

Übungsaufgaben

Berechne die Jahreszinsen für 2 500 € bei 4 %.
Wie viel wird aus 800 € nach zwei Jahren zu 5 % mit jährlichem Zinseszins?
Ein Kapital wächst in zwei Jahren von 1 000 € auf 1 102,50 €. Bestimme den jährlichen Zinssatz.
Berechne die Zinsen für 1 200 € zu 6 % für drei Monate im vereinfachten Monatsmodell.

Lösungen anzeigen

2 500 € · 0,04 = 100 €.
800 € · 1,05² = 882 €.
r = √(1 102,50/1 000) − 1 = 0,05, also 5 %.
1 200 € · 0,06 · 3/12 = 18 €.

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Exponential- und Logarithmusfunktion

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 16, 2021

Lernziel: Du erkennst exponentielle Veränderungen und berechnest mit dem Logarithmus eine unbekannte Zeit. Voraussetzung: Potenzgesetze.

Gleicher Faktor statt gleicher Zuwachs

Bei linearem Wachstum kommt in gleichen Zeitabständen derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird in gleichen Zeitabständen mit demselben Faktor multipliziert. B ist der Anfangsbestand, T die Länge eines Zeitintervalls und a der Faktor je Intervall.

$G(t)=B\cdot a^{t/T},\qquad B>0,\quad T>0,\quad a>0$

a > 1: Wachstum, etwa a = 1,05 für 5 % Zuwachs je Intervall.
0 < a < 1: Abnahme, etwa a = 0,8 für 20 % Rückgang je Intervall.
a = 1: Der Bestand bleibt konstant.
t und T müssen in derselben Zeiteinheit eingesetzt werden.

Beispiel 1: Einen Bestand berechnen

Eine Modellpopulation startet mit 2 Einheiten und verdreifacht sich alle 6 Tage. Dann gilt B = 2, a = 3 und T = 6 Tage. Für t in Tagen rechnen wir:

$G(30)=2\cdot3^{30/6}=2\cdot3^5=486$

Nach 30 Tagen sind es 486 Einheiten. Das Ergebnis ist ein Bestand, keine Zeitangabe.

Beispiel 2: Eine Zeit berechnen

Nach wie vielen Tagen ist der Bestand 162? Zuerst isolierst du die Potenz: 162 = 2 · 3^t/6, also 81 = 3^t/6. Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich 3 potenzieren, um 81 zu erhalten?“

$\log_3(81)=\frac{t}{6},\qquad 4=\frac{t}{6},\qquad t=24$

Viele Taschenrechner besitzen nur ln oder log zur Basis 10. Die Basisumrechnung hilft: log_a(x) = ln(x)/ln(a). Logarithmen reeller Zahlen sind nur für x > 0 definiert; die Basis muss a > 0 und a ≠ 1 erfüllen.

Allgemeines Rezept und Umkehrfunktion

$t=T\cdot\frac{\ln(G/B)}{\ln(a)}\qquad(G>0,\ a\ne1)$

Die Funktionen a^x und log_a(x) sind Umkehrfunktionen. Ihre Graphen sind an y = x gespiegelt. Die Wurzelfunktion ist dagegen nur die Umkehrfunktion der auf x ≥ 0 eingeschränkten Quadratfunktion. Für beliebige reelle x gilt √(x²) = |x|.

Die Graphen von Exponentialfunktion und Logarithmus

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

$G(t)=G(0)\left(\frac12\right)^{t/H}$

H bezeichnet die Halbwertszeit: Nach H bleibt die Hälfte, nach 2H ein Viertel und nach 3H ein Achtel. Beispiel: Ein Modellbestand von 80 g mit H = 10 Tagen sinkt nach 30 Tagen auf 10 g. Bei Wachstum ist die Verdopplungszeit D = T · ln(2)/ln(a). Solche Modelle setzen einen konstanten Faktor voraus; reale biologische oder wirtschaftliche Entwicklungen erfüllen das nicht unbegrenzt.

Übungsaufgaben

200 Bakterien verdoppeln sich modellhaft jede Stunde. Wie viele sind es nach 4 Stunden?
Ein Bestand von 500 g hat eine Halbwertszeit von 3 Tagen. Wie viel bleibt nach 6 Tagen?
Ein Bestand startet bei 5 und verdoppelt sich alle 2 Tage. Wann erreicht er 40?
Welcher Faktor gehört zu einem Rückgang um 12 % pro Jahr?

Lösungen anzeigen

200 · 2⁴ = 3 200.
500 · (1/2)² = 125 g.
40/5 = 8 = 2³: drei Intervalle à zwei Tage, also 6 Tage.
a = 1 − 0,12 = 0,88.

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Brutto und Netto: mit Prozenten rechnen

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 7, 2021

Lernziel: Du berechnest aus einem Nettopreis den Bruttopreis und aus einem Bruttopreis den enthaltenen Steuerbetrag. Es geht hier um Preise mit Umsatzsteuer, nicht um die Berechnung eines Nettogehalts.

Welcher Betrag ist die Grundlage?

Der Nettopreis N ist der Preis ohne Umsatzsteuer. Der Steuerbetrag S wird auf diesen Nettopreis aufgeschlagen. Der Bruttopreis B ist der Gesamtbetrag. Schreibe den Steuersatz als Dezimalzahl r: 19 % = 0,19.

Steuerbetrag: S = N · r
Bruttopreis: B = N · (1 + r)
Nettopreis: N = B / (1 + r)
Enthaltene Steuer: S = B − N = B · r / (1 + r)

Beispiel: Von Netto zu Brutto

Ein Artikel kostet netto 100 €. In diesem Beispiel gilt ein Steuersatz von 19 %. Die Steuer beträgt 100 € · 0,19 = 19 €. Der Bruttopreis ist 100 € · 1,19 = 119 €.

Beispiel: Von Brutto zu Netto

Auf einer Rechnung stehen 238 € brutto bei 19 % Umsatzsteuer. Du teilst durch 1,19: N = 238 € / 1,19 = 200 €. Die enthaltene Steuer beträgt 238 € − 200 € = 38 €.

Typischer Fehler: Von einem Bruttopreis einfach 19 % abzuziehen ist falsch. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis. Bei 119 € brutto sind 19 € Steuer enthalten, nicht 22,61 €.

Rechenmodell und Wirklichkeit

In Deutschland beträgt der allgemeine Umsatzsteuersatz 19 %. Für gesetzlich bestimmte Umsätze gelten beispielsweise 7 %, 0 % oder Steuerbefreiungen. Welcher Fall vorliegt, ergibt sich aus den gesetzlichen Regeln; nicht jede gewerbliche Leistung wird gleich besteuert. Die Kleinunternehmerregelung hat eigene Voraussetzungen. Deshalb leiten wir aus diesem Rechenbeispiel keine pauschale Umsatzgrenze ab.

Der Nettoumsatz ist außerdem nicht der Gewinn: Vom Umsatz sind noch betriebliche Kosten abzuziehen. Ein vorsteuerabzugsberechtigtes Unternehmen verrechnet vereinnahmte Umsatzsteuer grundsätzlich mit abziehbarer Vorsteuer. Für die Preisrechnung hier genügt die Trennung von Netto, Steuer und Brutto.

Übungsaufgaben

Ein Nettopreis beträgt 50 €. Berechne Brutto und Steuer bei 19 %.
Ein Bruttopreis beträgt 107 €. Berechne Netto und Steuer bei einem vorgegebenen Satz von 7 %.
Warum ist 119 € · 0,81 kein korrekter Weg zum Nettopreis bei 19 %?

Lösungen anzeigen

Steuer: 9,50 €. Brutto: 59,50 €.
Netto: 107 € / 1,07 = 100 €. Steuer: 7 €.
0,81 zieht 19 % vom falschen Grundwert ab. Richtig ist 119 € / 1,19 = 100 €.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

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Potenzfunktionen, Geraden und Parabeln

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 7, 2021
1 Kommentar zu Potenzfunktionen, Geraden und Parabeln

Lernziel: Du erkennst Potenzfunktionen und kannst an Geraden und Parabeln Achsenabschnitte, Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmen.

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine reine Potenzfunktion hat die Form f(x) = xⁿ. Ein Vorfaktor a führt zu f(x) = a · xⁿ. Wir betrachten hier ganzzahlige Exponenten. Summen mehrerer Potenzterme heißen bei nichtnegativen ganzzahligen Exponenten Polynome. Eine Gerade mx + b oder eine Parabel ax² + bx + c ist daher nicht immer eine reine Potenzfunktion.

Funktion	Eigenschaft
x², x⁴, …	Gerader positiver Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.
x, x³, …	Ungerader positiver Exponent: punktsymmetrisch zum Ursprung.
x⁻¹ = 1/x	x = 0 ist ausgeschlossen; punktsymmetrisch zum Ursprung.
x⁻² = 1/x²	x = 0 ist ausgeschlossen; achsensymmetrisch zur y-Achse.

Lineare Funktion: die Gerade

$f(x)=mx+b$

m ist die Steigung: Erhöht sich x um 1, ändert sich f(x) um m. b ist der y-Achsenabschnitt, denn f(0) = b. Bei f(x) = 2x + 3 ist die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 3.

Für eine Nullstelle setzt du f(x) = 0 und löst nach x auf: 0 = 2x + 3, also x = −3/2. Allgemein gilt x₀ = −b/m, sofern m ≠ 0. Bei m = 0 ist die Funktion konstant und hat entweder keine Nullstelle (b ≠ 0) oder jede reelle Zahl als Nullstelle (b = 0).

Quadratische Funktion: die Parabel

$f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0$

Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten. Beispiel: f(x) = 2x² − 12x + 16. Der y-Achsenabschnitt ist c = 16.

Nullstellen Schritt für Schritt

Gleich null setzen: 2x² − 12x + 16 = 0.
Durch 2 teilen: x² − 6x + 8 = 0.
Mit p = −6 und q = 8 die pq-Formel anwenden.

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Es folgt x = 3 ± √(9 − 8), also x₁ = 2 und x₂ = 4. Ein positiver Ausdruck unter der Wurzel ergibt zwei verschiedene reelle Nullstellen, null ergibt eine doppelte Nullstelle und ein negativer Ausdruck ergibt keine reelle Nullstelle.

Scheitelpunkt und Darstellungsformen

$x_S=-\frac{b}{2a},\qquad y_S=f(x_S)$

Diese Scheitelpunktformel funktioniert auch ohne reelle Nullstellen. Im Beispiel ist x_S = 12/4 = 3 und f(3) = −2. Also S(3 | −2). Falls zwei reelle Nullstellen vorliegen, liegt x_S auch genau in ihrer Mitte.

$f(x)=2(x-3)^2-2=2(x-2)(x-4)$

An der Scheitelpunktform liest du S(3 | −2) ab. An der Produktform erkennst du die Nullstellen 2 und 4. Den Vorfaktor 2 darfst du dabei nicht vergessen.

Übungsaufgaben

Bestimme Nullstelle und y-Achsenabschnitt von f(x) = −2x + 6.
Bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt von g(x) = x² − 4x + 3.
Wie viele reelle Nullstellen besitzt h(x) = x² + 1? Wo liegt der Scheitelpunkt?
Welche Definitionslücke hat f(x) = x⁻³?

Lösungen anzeigen

Nullstelle x = 3; y-Achsenabschnitt 6.
g(x) = (x − 1)(x − 3); Nullstellen 1 und 3. S(2 | −1).
Keine reelle Nullstelle, weil x² + 1 immer positiv ist. S(0 | 1).
x = 0 ist ausgeschlossen, weil x⁻³ = 1/x³.

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Termumformung

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020
2 Kommentare zu Termumformung

Lernziel: Du kannst Terme ordnen, ausmultiplizieren und faktorisieren. Du unterscheidest einen Term von einer Gleichung.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein Rechenausdruck, zum Beispiel 3x + 2. Er enthält noch keine Behauptung, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Eine Gleichung wie 3x + 2 = 11 setzt zwei Terme gleich. Bei einer Termumformung bleibt der Wert des Ausdrucks für alle erlaubten Werte der Variablen erhalten.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Du darfst nur Terme mit demselben Variablenteil zusammenfassen: 3x + 5x = 8x, aber 3x + 5x² bleibt so stehen. Beim Umordnen gehört ein Minus zum folgenden Summanden: a − b = a + (−b).

Klammern auflösen und ausklammern

$a(b+c)=ab+ac,\qquad ab+ac=a(b+c)$

Beispiel: 3(2x − 4) = 6x − 12. Rückwärts: 6x − 12 = 6(x − 2). Bei −(x − 4) wechseln beide Vorzeichen: −x + 4. Prüfe beim Ausklammern jeden Summanden durch Division durch den ausgeklammerten Faktor.

$2x^3y+4x^2y+2xy=2xy(x^2+2x+1)$

Binomische Formeln

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Beispiel: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Der mittlere Term entsteht, weil beim Ausmultiplizieren zweimal 3x vorkommt. Rückwärts erkennst du x² − 10x + 25 = (x − 5)².

Bruchterme und Definitionsbereich

Beim Term (x² − 1)/(x − 1) ist x = 1 ausgeschlossen. Nach dem Faktorisieren darfst du x − 1 kürzen und erhältst x + 1, aber weiterhin nur für x ≠ 1. Ein vereinfachter Ausdruck erweitert nicht automatisch den ursprünglichen Definitionsbereich.

Von der Termumformung zur Gleichung

Bei 3(x − 2) = 12 teilst du beide Seiten durch 3: x − 2 = 4. Danach addierst du auf beiden Seiten 2: x = 6. Probe: 3(6 − 2) = 12. Rechenschritte auf beiden Seiten müssen die Gleichheit erhalten; durch einen möglicherweise null werdenden Ausdruck darfst du nicht einfach teilen.

Übungsaufgaben

Vereinfache 4x − 3 + 2x + 8.
Löse −2(3x − 5) auf.
Faktorisiere x² − 9.
Löse 2(x + 3) = 14 und mache eine Probe.

Lösungen anzeigen

6x + 5.
−6x + 10.
(x − 3)(x + 3).
x + 3 = 7, also x = 4. Probe: 2 · 7 = 14.

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Bruchrechnung

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020
2 Kommentare zu Bruchrechnung

Lernziel: Du kannst Brüche kürzen, erweitern und mit ihnen rechnen. Außerdem erkennst du denselben Anteil als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl.

Zähler und Nenner

Der Bruch 3/4 bedeutet: Ein Ganzes wird in vier gleich große Teile geteilt, davon werden drei genommen. Die 3 heißt Zähler, die 4 Nenner. Ein Bruch ist zugleich eine Division: 3 : 4 = 3/4. Ein Nenner darf niemals 0 sein.

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich 0. Beim Kürzen teilst du beide durch denselben gemeinsamen Faktor. Der Wert des Bruches bleibt gleich.

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20},\qquad \frac{18}{24}=\frac{3}{4}$

Addieren und Subtrahieren

Du brauchst einen gemeinsamen Nenner. Dann addierst oder subtrahierst du nur die Zähler; der Nenner bleibt stehen. Ein gemeinsamer Nenner muss nicht der kleinste sein, der kleinste macht die Rechnung aber oft kürzer.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Du darfst gemeinsame Faktoren vorher kürzen. Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Der Divisor darf nicht 0 sein.

$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},\qquad \frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$

Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Prozent bedeutet „von hundert“: 20 % = 20/100 = 1/5 = 0,2. Um 20 % von 17 zu berechnen, multiplizierst du 17 mit 0,2. Das Ergebnis ist 3,4. Eine Dezimalzahl erhältst du aus einem Bruch durch Division des Zählers durch den Nenner.

Bruch	Dezimalzahl	Prozent
1/2	0,5	50 %
1/4	0,25	25 %
3/4	0,75	75 %
1/5	0,2	20 %

Typische Fehler: 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Und Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren erlaubt, nicht über einzelne Summanden hinweg.

Übungsaufgaben

Berechne 2/5 + 1/10.
Berechne 3/4 · 8/9.
Berechne 5/6 : 10/3.
Wie viel sind 15 % von 80?

Lösungen anzeigen

4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2.
24/36 = 2/3.
5/6 · 3/10 = 15/60 = 1/4.
0,15 · 80 = 12.

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Potenzen und Wurzeln

Lernziel: Du kannst Potenzen berechnen, Potenzgesetze anwenden und Wurzeln als Potenzen schreiben. Voraussetzung: Multiplikation und Bruchrechnung.

Was bedeutet eine Potenz?

In 2⁴ ist 2 die Basis und 4 der Exponent. Ein positiver ganzzahliger Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Achtung: Das ist nicht 2 · 4.

Die wichtigsten Potenzgesetze

Für die folgende Regelsammlung nehmen wir positive Basen x und y an. Damit sind auch gebrochene Exponenten eindeutig als reelle Zahlen definiert.

$x^0=1,\qquad x^1=x,\qquad x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

$x^m x^n=x^{m+n},\qquad \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n},\qquad (x^m)^n=x^{mn}$

$(xy)^n=x^ny^n,\qquad \left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}$

Bei der Multiplikation mit gleicher Basis addierst du die Exponenten; beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie. Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert: 2⁻³ = 1/8.

Wurzeln als Potenzen

$\sqrt[n]{x}=x^{1/n},\qquad \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}\quad(x>0,\ n\in\mathbb N,\ n\geq2)$

Beispiel: 16^1/2 = √16 = 4 und 8^2/3 = (∛8)² = 4. Bei geraden Wurzeln sind negative Radikanden in den reellen Zahlen nicht erlaubt. Die Quadratwurzel bezeichnet immer die nichtnegative Lösung: √9 = 3.

Vorzeichen, Null und typische Fehler

(−3)² = 9, aber −3² = −9: Die Klammer entscheidet, ob das Minus mit potenziert wird.
Für x ≠ 0 gilt x⁰ = 1. Der Ausdruck 0⁰ ist in dieser Schulregelliste nicht definiert. Negative Exponenten sind bei der Basis 0 ebenfalls nicht definiert.
Potenzen verteilen sich im Allgemeinen nicht über Summen: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13.
Für jede reelle Zahl x gilt √(x²) = |x|. Beispiel: √((−5)²) = 5.

Übungsaufgaben

Berechne 3² · 3⁴.
Vereinfache (x³)²/x⁴ für x > 0.
Berechne 25^1/2, 2⁻⁴ und (−2)³.
Erkläre, warum √(a + b) nicht allgemein √a + √b ist.

Lösungen anzeigen

3⁶ = 729.
x⁶/x⁴ = x².
5; 1/16; −8.
Gegenbeispiel a = b = 1: links √2, rechts 2.