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Rechnen

Termumformung

Lernziel: Du kannst Terme ordnen, ausmultiplizieren und faktorisieren. Du unterscheidest einen Term von einer Gleichung.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein Rechenausdruck, zum Beispiel 3x + 2. Er enthält noch keine Behauptung, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Eine Gleichung wie 3x + 2 = 11 setzt zwei Terme gleich. Bei einer Termumformung bleibt der Wert des Ausdrucks für alle erlaubten Werte der Variablen erhalten.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Du darfst nur Terme mit demselben Variablenteil zusammenfassen: 3x + 5x = 8x, aber 3x + 5x2 bleibt so stehen. Beim Umordnen gehört ein Minus zum folgenden Summanden: a − b = a + (−b).

Klammern auflösen und ausklammern

    \[a(b+c)=ab+ac,\qquad ab+ac=a(b+c)\]

Beispiel: 3(2x − 4) = 6x − 12. Rückwärts: 6x − 12 = 6(x − 2). Bei −(x − 4) wechseln beide Vorzeichen: −x + 4. Prüfe beim Ausklammern jeden Summanden durch Division durch den ausgeklammerten Faktor.

    \[2x^3y+4x^2y+2xy=2xy(x^2+2x+1)\]

Binomische Formeln

    \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

    \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

    \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Beispiel: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Der mittlere Term entsteht, weil beim Ausmultiplizieren zweimal 3x vorkommt. Rückwärts erkennst du x2 − 10x + 25 = (x − 5)2.

Bruchterme und Definitionsbereich

Beim Term (x2 − 1)/(x − 1) ist x = 1 ausgeschlossen. Nach dem Faktorisieren darfst du x − 1 kürzen und erhältst x + 1, aber weiterhin nur für x ≠ 1. Ein vereinfachter Ausdruck erweitert nicht automatisch den ursprünglichen Definitionsbereich.

Von der Termumformung zur Gleichung

Bei 3(x − 2) = 12 teilst du beide Seiten durch 3: x − 2 = 4. Danach addierst du auf beiden Seiten 2: x = 6. Probe: 3(6 − 2) = 12. Rechenschritte auf beiden Seiten müssen die Gleichheit erhalten; durch einen möglicherweise null werdenden Ausdruck darfst du nicht einfach teilen.

Übungsaufgaben

  1. Vereinfache 4x − 3 + 2x + 8.
  2. Löse −2(3x − 5) auf.
  3. Faktorisiere x2 − 9.
  4. Löse 2(x + 3) = 14 und mache eine Probe.
Lösungen anzeigen
  1. 6x + 5.
  2. −6x + 10.
  3. (x − 3)(x + 3).
  4. x + 3 = 7, also x = 4. Probe: 2 · 7 = 14.

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