Bewegung verstehen: Kinematik, Kinetik, Ableitung und Integral

Lernziel: Du verknüpfst Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung und erkennst Ableitung und Integral im Sachzusammenhang. Grundlagen ab etwa Klasse 9; der Abschnitt zu Ableitung und Integral richtet sich an die Oberstufe.

Kinematik und Kinetik unterscheiden

Kinematik beschreibt, wie sich etwas bewegt. Kinetik untersucht die Bewegung unter dem Einfluss von Kräften. Für die angekündigte Verbindung von Bewegung mit Ableitung und Integral beginnen wir mit der Kinematik und ergänzen anschließend die Kraftwirkung.

Wir betrachten eine Bewegung entlang einer geraden Achse. x(t) ist der Ort; sein Vorzeichen bezieht sich auf einen gewählten Nullpunkt. Die Ortsänderung Δx = x(t₂) − x(t₁) kann negativ sein. Sie ist nicht immer gleich der zurückgelegten Weglänge, etwa wenn jemand hin- und zurückläuft.

Größe	Zeichen	Einheit
Zeit	t	Sekunde (s)
Ort	x	Meter (m)
Geschwindigkeit	v	Meter pro Sekunde (m/s)
Beschleunigung	a	Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²)
Kraft	F	Newton (N)

Mittlere Geschwindigkeit

$\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Ein Fahrrad legt geradlinig 120 m in 20 s in positiver Richtung zurück. Seine mittlere Geschwindigkeit ist 120/20 = 6 m/s. Für km/h multiplizierst du mit 3,6: 21,6 km/h. Umgekehrt entspricht 72 km/h einer Geschwindigkeit von 20 m/s.

Die mittlere Geschwindigkeit über ein Intervall sagt noch nicht, wie schnell das Fahrrad in jedem Augenblick war. Bei 10 m hin und 10 m zurück in 10 s ist die mittlere Geschwindigkeit aus der Ortsänderung 0 m/s, die mittlere Schnelligkeit aus dem Weg aber 20/10 = 2 m/s.

Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung

$v(t)=x'(t),\qquad a(t)=v'(t)=x''(t)$

Die Ableitung beschreibt eine momentane Änderungsrate. Im Ort-Zeit-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Tangentensteigung. Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm entspricht die Beschleunigung der Steigung. Ein waagerechter Ort-Graph bedeutet Stillstand; ein waagerechter Geschwindigkeitsgraph bedeutet konstante Geschwindigkeit.

Durchgerechnetes Beispiel

Für t in Sekunden sei der Zahlenwert des Ortes in Metern durch x(t) = t² + 2t gegeben. Dann lauten die Zahlenwertfunktionen v(t) = 2t + 2 und a(t) = 2. Die Einheiten sind m/s beziehungsweise m/s².

t in s	x(t) in m	v(t) in m/s
0	0	2
1	3	4
2	8	6
3	15	8

Zwischen t = 1 s und t = 3 s beträgt die Ortsänderung 15 − 3 = 12 m. Die mittlere Geschwindigkeit ist 12 m / 2 s = 6 m/s. Bei t = 3 s ist die Momentangeschwindigkeit dagegen 8 m/s.

Mit dem Integral zurück zum Ort

$x(t_2)-x(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt$

Im Beispiel ist eine Stammfunktion von 2t + 2 der Ausdruck t² + 2t. Also ergibt das Integral von 1 bis 3 den Wert (9 + 6) − (1 + 2) = 12 m. Für den absoluten Ort brauchst du zusätzlich einen Anfangsort.

$x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau$

Flächen unterhalb der Zeitachse zählen beim Integral negativ. Für die tatsächlich zurückgelegte Weglänge integrierst du |v(t)|. Die Aufgabe „Wie weit gefahren?“ verlangt deshalb gegebenenfalls eine Aufteilung an den Zeitpunkten eines Richtungswechsels.

Konstante Beschleunigung und Kraft

$v(t)=v_0+at,\qquad x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$

Diese Formeln gelten für konstante Beschleunigung und den Startzeitpunkt t = 0. Eine negative Beschleunigung bedeutet nicht immer Bremsen: Bei negativer Geschwindigkeit und negativer Beschleunigung nimmt die Schnelligkeit zu.

$F_{\mathrm{res}}=m\cdot a$

In der klassischen Mechanik gilt bei konstanter Masse im Inertialsystem: Die resultierende Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Für m = 2 kg und a = 3 m/s² ergibt sich F = 6 N. Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist die resultierende Kraft null; einzelne Kräfte können sich dabei gegenseitig ausgleichen.

Übungsaufgaben

Wandle 90 km/h in m/s um.
Für t in s und x in m gilt x(t) = 3t². Bestimme v(t), a(t) und v(2).
Ein Körper fährt 4 s lang mit v = −3 m/s. Bestimme Ortsänderung und Weglänge.
Eine resultierende Kraft von 10 N wirkt auf 5 kg. Bestimme die Beschleunigung.

Lösungen anzeigen

90/3,6 = 25 m/s.
v(t) = 6t m/s bei t als Zahlenwert in Sekunden; a = 6 m/s²; v(2) = 12 m/s.
Ortsänderung −12 m; Weglänge 12 m.
a = F/m = 2 m/s².