Zinsrechnung und Zinseszins: Schritt für Schritt

Lernziel: Du berechnest Zinsen, unterscheidest einfache Verzinsung und Zinseszins und kannst Kapital, Zinssatz oder Laufzeit ermitteln. Voraussetzung: Prozentrechnung und Potenzen.

Was sind Zinsen?

Zinsen sind ein Entgelt für die zeitweise Überlassung von Geld. Beim Sparen kannst du Zinsen erhalten; bei einem Kredit zahlst du üblicherweise Zinsen. Wir rechnen hier mit einem vereinfachten Modell: konstanter Zinssatz, keine Gebühren und keine Steuern. Die angegebenen Sätze sind Rechenbeispiele, keine aktuellen Angebote.

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
K	Kapital	1 000 €
p	Zinssatz als Prozentzahl	3
r = p/100	Zinssatz als Dezimalzahl	0,03
Z	Zinsbetrag	30 € nach einem Jahr

Zinsen für ein Jahr

$Z=K\cdot\frac{p}{100}=K\cdot r$

Beispiel: 1 000 € werden für ein Jahr zu 3 % verzinst. Z = 1 000 € · 0,03 = 30 €. Am Jahresende sind Kapital und Zins zusammen 1 030 €.

Kürzere Zeiträume: die Annahme angeben

Bei einfacher zeitanteiliger Verzinsung gilt Z = K · r · t, wobei t in Jahren gemessen wird. Für sechs Monate setzen wir im vereinfachten Monatsmodell t = 6/12 ein. Aus 1 000 € zu 3 % werden so 15 € Zinsen.

Bei Tagesaufgaben muss die Zählmethode vorgegeben sein. Im kaufmännischen 30/360-Modell werden Monate mit 30 und Jahre mit 360 Tagen gerechnet. Andere Verträge verwenden tatsächliche Tage und andere Jahreslängen. Die Methode darfst du nicht stillschweigend wechseln.

Zinseszins: Zinsen werden wieder mitverzinst

Bleiben die Zinsen auf dem Konto, wächst der Grundwert für das nächste Jahr. Bei jährlicher Gutschrift und konstantem Zinssatz gilt:

$K_n=K_0(1+r)^n$

Jahr	Rechnung	Kapital am Jahresende
1	1 000 · 1,03	1 030,00 €
2	1 030 · 1,03	1 060,90 €
3	1 060,90 · 1,03	1 092,73 €

Ohne Wiederanlage wären es nach drei Jahren 1 000 € + 3 · 30 € = 1 090 €. Mit Zinseszins ergeben sich rechnerisch 1 092,727 €, auf Cent gerundet 1 092,73 €. Bei Aufgaben möglichst erst am Ende runden, sofern keine jährliche Rundung vorgegeben ist.

Rückwärts rechnen

$K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n},\qquad r=\left(\frac{K_n}{K_0}\right)^{1/n}-1$

$n=\frac{\ln(K_n/K_0)}{\ln(1+r)}\qquad(r>0)$

Beispiel: Bei 5 % soll sich ein Anfangskapital verdoppeln. n = ln(2)/ln(1,05) ≈ 14,21. Werden Zinsen nur jährlich gutgeschrieben und sind volle Jahre gefragt, wird die Verdopplung erstmals nach 15 Jahren erreicht.

Typische Fehler

3 % als 3 statt als 0,03 einsetzen.
Den Faktor 1,03 mit dem Zinsbetrag verwechseln.
Bei mehreren Jahren immer nur den ursprünglichen Zins addieren, obwohl Zinseszins gefragt ist.
Aus dem Rechenmodell auf reale Kaufkraft schließen: Inflation, Steuern und Kosten sind hier nicht berücksichtigt.

Übungsaufgaben

Berechne die Jahreszinsen für 2 500 € bei 4 %.
Wie viel wird aus 800 € nach zwei Jahren zu 5 % mit jährlichem Zinseszins?
Ein Kapital wächst in zwei Jahren von 1 000 € auf 1 102,50 €. Bestimme den jährlichen Zinssatz.
Berechne die Zinsen für 1 200 € zu 6 % für drei Monate im vereinfachten Monatsmodell.

Lösungen anzeigen

2 500 € · 0,04 = 100 €.
800 € · 1,05² = 882 €.
r = √(1 102,50/1 000) − 1 = 0,05, also 5 %.
1 200 € · 0,06 · 3/12 = 18 €.