Potenzfunktionen, Geraden und Parabeln

Lernziel: Du erkennst Potenzfunktionen und kannst an Geraden und Parabeln Achsenabschnitte, Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmen.

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine reine Potenzfunktion hat die Form f(x) = xⁿ. Ein Vorfaktor a führt zu f(x) = a · xⁿ. Wir betrachten hier ganzzahlige Exponenten. Summen mehrerer Potenzterme heißen bei nichtnegativen ganzzahligen Exponenten Polynome. Eine Gerade mx + b oder eine Parabel ax² + bx + c ist daher nicht immer eine reine Potenzfunktion.

Funktion	Eigenschaft
x², x⁴, …	Gerader positiver Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.
x, x³, …	Ungerader positiver Exponent: punktsymmetrisch zum Ursprung.
x⁻¹ = 1/x	x = 0 ist ausgeschlossen; punktsymmetrisch zum Ursprung.
x⁻² = 1/x²	x = 0 ist ausgeschlossen; achsensymmetrisch zur y-Achse.

Lineare Funktion: die Gerade

$f(x)=mx+b$

m ist die Steigung: Erhöht sich x um 1, ändert sich f(x) um m. b ist der y-Achsenabschnitt, denn f(0) = b. Bei f(x) = 2x + 3 ist die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 3.

Für eine Nullstelle setzt du f(x) = 0 und löst nach x auf: 0 = 2x + 3, also x = −3/2. Allgemein gilt x₀ = −b/m, sofern m ≠ 0. Bei m = 0 ist die Funktion konstant und hat entweder keine Nullstelle (b ≠ 0) oder jede reelle Zahl als Nullstelle (b = 0).

Quadratische Funktion: die Parabel

$f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0$

Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten. Beispiel: f(x) = 2x² − 12x + 16. Der y-Achsenabschnitt ist c = 16.

Nullstellen Schritt für Schritt

Gleich null setzen: 2x² − 12x + 16 = 0.
Durch 2 teilen: x² − 6x + 8 = 0.
Mit p = −6 und q = 8 die pq-Formel anwenden.

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Es folgt x = 3 ± √(9 − 8), also x₁ = 2 und x₂ = 4. Ein positiver Ausdruck unter der Wurzel ergibt zwei verschiedene reelle Nullstellen, null ergibt eine doppelte Nullstelle und ein negativer Ausdruck ergibt keine reelle Nullstelle.

Scheitelpunkt und Darstellungsformen

$x_S=-\frac{b}{2a},\qquad y_S=f(x_S)$

Diese Scheitelpunktformel funktioniert auch ohne reelle Nullstellen. Im Beispiel ist x_S = 12/4 = 3 und f(3) = −2. Also S(3 | −2). Falls zwei reelle Nullstellen vorliegen, liegt x_S auch genau in ihrer Mitte.

$f(x)=2(x-3)^2-2=2(x-2)(x-4)$

An der Scheitelpunktform liest du S(3 | −2) ab. An der Produktform erkennst du die Nullstellen 2 und 4. Den Vorfaktor 2 darfst du dabei nicht vergessen.

Übungsaufgaben

Bestimme Nullstelle und y-Achsenabschnitt von f(x) = −2x + 6.
Bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt von g(x) = x² − 4x + 3.
Wie viele reelle Nullstellen besitzt h(x) = x² + 1? Wo liegt der Scheitelpunkt?
Welche Definitionslücke hat f(x) = x⁻³?

Lösungen anzeigen

Nullstelle x = 3; y-Achsenabschnitt 6.
g(x) = (x − 1)(x − 3); Nullstellen 1 und 3. S(2 | −1).
Keine reelle Nullstelle, weil x² + 1 immer positiv ist. S(0 | 1).
x = 0 ist ausgeschlossen, weil x⁻³ = 1/x³.