Exponential- und Logarithmusfunktion

Lernziel: Du erkennst exponentielle Veränderungen und berechnest mit dem Logarithmus eine unbekannte Zeit. Voraussetzung: Potenzgesetze.

Gleicher Faktor statt gleicher Zuwachs

Bei linearem Wachstum kommt in gleichen Zeitabständen derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird in gleichen Zeitabständen mit demselben Faktor multipliziert. B ist der Anfangsbestand, T die Länge eines Zeitintervalls und a der Faktor je Intervall.

$G(t)=B\cdot a^{t/T},\qquad B>0,\quad T>0,\quad a>0$

a > 1: Wachstum, etwa a = 1,05 für 5 % Zuwachs je Intervall.
0 < a < 1: Abnahme, etwa a = 0,8 für 20 % Rückgang je Intervall.
a = 1: Der Bestand bleibt konstant.
t und T müssen in derselben Zeiteinheit eingesetzt werden.

Beispiel 1: Einen Bestand berechnen

Eine Modellpopulation startet mit 2 Einheiten und verdreifacht sich alle 6 Tage. Dann gilt B = 2, a = 3 und T = 6 Tage. Für t in Tagen rechnen wir:

$G(30)=2\cdot3^{30/6}=2\cdot3^5=486$

Nach 30 Tagen sind es 486 Einheiten. Das Ergebnis ist ein Bestand, keine Zeitangabe.

Beispiel 2: Eine Zeit berechnen

Nach wie vielen Tagen ist der Bestand 162? Zuerst isolierst du die Potenz: 162 = 2 · 3^t/6, also 81 = 3^t/6. Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich 3 potenzieren, um 81 zu erhalten?“

$\log_3(81)=\frac{t}{6},\qquad 4=\frac{t}{6},\qquad t=24$

Viele Taschenrechner besitzen nur ln oder log zur Basis 10. Die Basisumrechnung hilft: log_a(x) = ln(x)/ln(a). Logarithmen reeller Zahlen sind nur für x > 0 definiert; die Basis muss a > 0 und a ≠ 1 erfüllen.

Allgemeines Rezept und Umkehrfunktion

$t=T\cdot\frac{\ln(G/B)}{\ln(a)}\qquad(G>0,\ a\ne1)$

Die Funktionen a^x und log_a(x) sind Umkehrfunktionen. Ihre Graphen sind an y = x gespiegelt. Die Wurzelfunktion ist dagegen nur die Umkehrfunktion der auf x ≥ 0 eingeschränkten Quadratfunktion. Für beliebige reelle x gilt √(x²) = |x|.

Die Graphen von Exponentialfunktion und Logarithmus

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

$G(t)=G(0)\left(\frac12\right)^{t/H}$

H bezeichnet die Halbwertszeit: Nach H bleibt die Hälfte, nach 2H ein Viertel und nach 3H ein Achtel. Beispiel: Ein Modellbestand von 80 g mit H = 10 Tagen sinkt nach 30 Tagen auf 10 g. Bei Wachstum ist die Verdopplungszeit D = T · ln(2)/ln(a). Solche Modelle setzen einen konstanten Faktor voraus; reale biologische oder wirtschaftliche Entwicklungen erfüllen das nicht unbegrenzt.

Übungsaufgaben

200 Bakterien verdoppeln sich modellhaft jede Stunde. Wie viele sind es nach 4 Stunden?
Ein Bestand von 500 g hat eine Halbwertszeit von 3 Tagen. Wie viel bleibt nach 6 Tagen?
Ein Bestand startet bei 5 und verdoppelt sich alle 2 Tage. Wann erreicht er 40?
Welcher Faktor gehört zu einem Rückgang um 12 % pro Jahr?

Lösungen anzeigen

200 · 2⁴ = 3 200.
500 · (1/2)² = 125 g.
40/5 = 8 = 2³: drei Intervalle à zwei Tage, also 6 Tage.
a = 1 − 0,12 = 0,88.