Autor: admin

Kategorien
Rechnen

Brutto und Netto: mit Prozenten rechnen

Lernziel: Du berechnest aus einem Nettopreis den Bruttopreis und aus einem Bruttopreis den enthaltenen Steuerbetrag. Es geht hier um Preise mit Umsatzsteuer, nicht um die Berechnung eines Nettogehalts.

Welcher Betrag ist die Grundlage?

Der Nettopreis N ist der Preis ohne Umsatzsteuer. Der Steuerbetrag S wird auf diesen Nettopreis aufgeschlagen. Der Bruttopreis B ist der Gesamtbetrag. Schreibe den Steuersatz als Dezimalzahl r: 19 % = 0,19.

  • Steuerbetrag: S = N · r
  • Bruttopreis: B = N · (1 + r)
  • Nettopreis: N = B / (1 + r)
  • Enthaltene Steuer: S = B − N = B · r / (1 + r)

Beispiel: Von Netto zu Brutto

Ein Artikel kostet netto 100 €. In diesem Beispiel gilt ein Steuersatz von 19 %. Die Steuer beträgt 100 € · 0,19 = 19 €. Der Bruttopreis ist 100 € · 1,19 = 119 €.

Beispiel: Von Brutto zu Netto

Auf einer Rechnung stehen 238 € brutto bei 19 % Umsatzsteuer. Du teilst durch 1,19: N = 238 € / 1,19 = 200 €. Die enthaltene Steuer beträgt 238 € − 200 € = 38 €.

Typischer Fehler: Von einem Bruttopreis einfach 19 % abzuziehen ist falsch. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis. Bei 119 € brutto sind 19 € Steuer enthalten, nicht 22,61 €.

Rechenmodell und Wirklichkeit

In Deutschland beträgt der allgemeine Umsatzsteuersatz 19 %. Für gesetzlich bestimmte Umsätze gelten beispielsweise 7 %, 0 % oder Steuerbefreiungen. Welcher Fall vorliegt, ergibt sich aus den gesetzlichen Regeln; nicht jede gewerbliche Leistung wird gleich besteuert. Die Kleinunternehmerregelung hat eigene Voraussetzungen. Deshalb leiten wir aus diesem Rechenbeispiel keine pauschale Umsatzgrenze ab.

Der Nettoumsatz ist außerdem nicht der Gewinn: Vom Umsatz sind noch betriebliche Kosten abzuziehen. Ein vorsteuerabzugsberechtigtes Unternehmen verrechnet vereinnahmte Umsatzsteuer grundsätzlich mit abziehbarer Vorsteuer. Für die Preisrechnung hier genügt die Trennung von Netto, Steuer und Brutto.

Übungsaufgaben

  1. Ein Nettopreis beträgt 50 €. Berechne Brutto und Steuer bei 19 %.
  2. Ein Bruttopreis beträgt 107 €. Berechne Netto und Steuer bei einem vorgegebenen Satz von 7 %.
  3. Warum ist 119 € · 0,81 kein korrekter Weg zum Nettopreis bei 19 %?
Lösungen anzeigen
  1. Steuer: 9,50 €. Brutto: 59,50 €.
  2. Netto: 107 € / 1,07 = 100 €. Steuer: 7 €.
  3. 0,81 zieht 19 % vom falschen Grundwert ab. Richtig ist 119 € / 1,19 = 100 €.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Kategorien
Rechnen

Potenzfunktionen, Geraden und Parabeln

Lernziel: Du erkennst Potenzfunktionen und kannst an Geraden und Parabeln Achsenabschnitte, Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmen.

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine reine Potenzfunktion hat die Form f(x) = xn. Ein Vorfaktor a führt zu f(x) = a · xn. Wir betrachten hier ganzzahlige Exponenten. Summen mehrerer Potenzterme heißen bei nichtnegativen ganzzahligen Exponenten Polynome. Eine Gerade mx + b oder eine Parabel ax2 + bx + c ist daher nicht immer eine reine Potenzfunktion.

FunktionEigenschaft
x2, x4, …Gerader positiver Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.
x, x3, …Ungerader positiver Exponent: punktsymmetrisch zum Ursprung.
x−1 = 1/xx = 0 ist ausgeschlossen; punktsymmetrisch zum Ursprung.
x−2 = 1/x2x = 0 ist ausgeschlossen; achsensymmetrisch zur y-Achse.

Lineare Funktion: die Gerade

    \[f(x)=mx+b\]

m ist die Steigung: Erhöht sich x um 1, ändert sich f(x) um m. b ist der y-Achsenabschnitt, denn f(0) = b. Bei f(x) = 2x + 3 ist die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 3.

Graph der linearen Funktion f(x) = 2x + 3

Für eine Nullstelle setzt du f(x) = 0 und löst nach x auf: 0 = 2x + 3, also x = −3/2. Allgemein gilt x0 = −b/m, sofern m ≠ 0. Bei m = 0 ist die Funktion konstant und hat entweder keine Nullstelle (b ≠ 0) oder jede reelle Zahl als Nullstelle (b = 0).

Quadratische Funktion: die Parabel

    \[f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0\]

Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten. Beispiel: f(x) = 2x2 − 12x + 16. Der y-Achsenabschnitt ist c = 16.

Parabel der Funktion f(x) = 2x² − 12x + 16

Nullstellen Schritt für Schritt

  1. Gleich null setzen: 2x2 − 12x + 16 = 0.
  2. Durch 2 teilen: x2 − 6x + 8 = 0.
  3. Mit p = −6 und q = 8 die pq-Formel anwenden.

    \[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\]

Es folgt x = 3 ± √(9 − 8), also x1 = 2 und x2 = 4. Ein positiver Ausdruck unter der Wurzel ergibt zwei verschiedene reelle Nullstellen, null ergibt eine doppelte Nullstelle und ein negativer Ausdruck ergibt keine reelle Nullstelle.

Scheitelpunkt und Darstellungsformen

    \[x_S=-\frac{b}{2a},\qquad y_S=f(x_S)\]

Diese Scheitelpunktformel funktioniert auch ohne reelle Nullstellen. Im Beispiel ist xS = 12/4 = 3 und f(3) = −2. Also S(3 | −2). Falls zwei reelle Nullstellen vorliegen, liegt xS auch genau in ihrer Mitte.

    \[f(x)=2(x-3)^2-2=2(x-2)(x-4)\]

An der Scheitelpunktform liest du S(3 | −2) ab. An der Produktform erkennst du die Nullstellen 2 und 4. Den Vorfaktor 2 darfst du dabei nicht vergessen.

Übungsaufgaben

  1. Bestimme Nullstelle und y-Achsenabschnitt von f(x) = −2x + 6.
  2. Bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt von g(x) = x2 − 4x + 3.
  3. Wie viele reelle Nullstellen besitzt h(x) = x2 + 1? Wo liegt der Scheitelpunkt?
  4. Welche Definitionslücke hat f(x) = x−3?
Lösungen anzeigen
  1. Nullstelle x = 3; y-Achsenabschnitt 6.
  2. g(x) = (x − 1)(x − 3); Nullstellen 1 und 3. S(2 | −1).
  3. Keine reelle Nullstelle, weil x² + 1 immer positiv ist. S(0 | 1).
  4. x = 0 ist ausgeschlossen, weil x−3 = 1/x3.

Weiterlernen

Kategorien
Geschichte

Deutschland

Lernziel: Du kannst zentrale Etappen deutscher Geschichte einordnen und Staat, Nation, Monarchie, Republik und Demokratie unterscheiden. Die heutige Bundesrepublik ist das Ergebnis einer langen, nicht geradlinigen Entwicklung.

Vor 1800: kein einheitlicher Nationalstaat

Große Teile des deutschsprachigen Raums gehörten zum Heiligen Römischen Reich, einem Verband vieler Territorien. Dazu zählten Fürstentümer, kirchliche Herrschaften und freie Städte. Österreich und Preußen waren bedeutende Mächte. Eine gemeinsame Sprache bedeutete noch keine gemeinsame staatliche Ordnung.

  • Deutschland 19. Jahrhundert
  • Deutschland um 1400
Bildquellen: Wikipedia

1789–1815: Revolution und Napoleon

1789 begann die Französische Revolution. Sie richtete sich gegen die ständische Ordnung und die Vorrechte von Adel und Klerus. Die Erklärung der Menschen- und Bürgerrechte formulierte Freiheits- und Gleichheitsrechte, die damals jedoch nicht für alle Menschen gleichermaßen verwirklicht wurden. 1792 wurde die Monarchie abgeschafft; 1793 wurde Ludwig XVI. hingerichtet. Während der Terrorherrschaft wurden Menschen verschiedener Gruppen verfolgt. Der Adel wurde nicht „weitgehend getötet“.

Bildquellen: Wikipedia

Napoleon gelangte 1799 an die Macht und krönte sich 1804 zum Kaiser. Seine autoritäre Herrschaft verband militärische Expansion mit Reformen wie dem Code civil. Er beherrschte oder beeinflusste große Teile Europas, nicht ganz Europa. 1806 entstand der Rheinbund unter seinem Einfluss; zugleich endete das Heilige Römische Reich.

Nach dem gescheiterten Russlandfeldzug 1812 folgten die Niederlage in der Völkerschlacht bei Leipzig 1813 und die Abdankung 1814. Nach seiner Rückkehr wurde Napoleon 1815 bei Waterloo endgültig besiegt. Der Wiener Kongress 1814/15 ordnete Europa neu; der Deutsche Bund entstand. Die Restauration stärkte monarchische Herrschaft, während Forderungen nach Freiheit und nationaler Einheit fortbestanden.

1848/49 und 1871: zwei Wege zur Einheit

In der Revolution von 1848/49 forderten Menschen Grundrechte, politische Mitbestimmung und einen deutschen Nationalstaat. Die Frankfurter Nationalversammlung beschloss im März 1849 die Paulskirchenverfassung. Sie setzte sich nicht dauerhaft durch: Der preußische König lehnte die Kaiserkrone ab, revolutionäre Bewegungen wurden militärisch niedergeschlagen.

Unter Bismarck wurde die Einigung später unter preußischer Führung und ohne Österreich vorangetrieben. Während des Deutsch-Französischen Krieges 1870/71 entstand das Deutsche Reich. Am 18. Januar 1871 wurde Wilhelm I. im Spiegelsaal von Versailles bei Paris zum Deutschen Kaiser ausgerufen. Das Kaiserreich hatte einen gewählten Reichstag, war aber lange keine parlamentarische Demokratie: Die Regierung war vom Kaiser und nicht vom Vertrauen des Reichstags abhängig.

1914–1933: Weltkrieg und Weimarer Republik

Der Erste Weltkrieg dauerte von 1914 bis 1918. Deutschland und Österreich-Ungarn gehörten zu den Mittelmächten, die den Krieg verloren. In der Novemberrevolution 1918 endete die deutsche Monarchie; die Republik wurde ausgerufen. Die Weimarer Republik brachte parlamentarische Demokratie und das Frauenwahlrecht. Sie war durch Kriegsfolgen, politische Gewalt, antidemokratische Kräfte und Wirtschaftskrisen belastet.

1933–1945: Diktatur, Verfolgung und Krieg

Am 30. Januar 1933 ernannte Reichspräsident Hindenburg Hitler zum Reichskanzler. Die Nationalsozialisten zerstörten anschließend mit Terror und der Ausschaltung von Grundrechten, Parlament und Opposition die Demokratie. Sie verfolgten zahlreiche Bevölkerungsgruppen und ermordeten im Holocaust etwa sechs Millionen europäische Jüdinnen und Juden.

Mit dem deutschen Überfall auf Polen am 1. September 1939 begann der Zweite Weltkrieg in Europa. Dort endete er mit der deutschen Kapitulation am 8. Mai 1945; weltweit erst nach Japans Kapitulation im September 1945.

Seit 1949: Teilung und Wiedervereinigung

Nach dem Krieg wurde Deutschland in vier Besatzungszonen aufgeteilt. 1949 entstanden die Bundesrepublik im Westen und die DDR in der sowjetischen Besatzungszone. Berlin hatte einen besonderen Viermächte-Status. Die Bundesrepublik entwickelte sich als parlamentarische Demokratie; ihr erster Bundeskanzler war Konrad Adenauer. Die DDR war eine SED-Diktatur.

Die friedliche Revolution in der DDR und der Mauerfall am 9. November 1989 eröffneten den Weg zur staatlichen Einheit. Am 3. Oktober 1990 traten die auf dem Gebiet der DDR gebildeten Länder der Bundesrepublik bei; Berlin wurde vereinigt. Mauerfall und Wiedervereinigung sind also verschiedene Ereignisse.

Begriffe zum Einordnen

  • Nation: eine historisch entstandene Vorstellung von Zusammengehörigkeit. Sie ist nicht automatisch mit einem Staat identisch.
  • Staat: eine politische Ordnung mit Staatsgebiet, Bevölkerung und Staatsgewalt.
  • Republik: Das Staatsoberhaupt erhält seine Stellung nicht durch eine erbliche Monarchie. Eine Republik kann trotzdem eine Diktatur sein.
  • Demokratie: Herrschaft wird durch die Bevölkerung legitimiert; freie Wahlen, Grundrechte und Machtkontrolle sind entscheidend.

Übungsaufgaben

  1. Ordne zeitlich: Reichsgründung, Wiedervereinigung, Paulskirchenverfassung, Gründung der Bundesrepublik.
  2. Warum genügt ein gewähltes Parlament allein nicht für eine parlamentarische Demokratie?
  3. Welches Ereignis gehört zum 9. November 1989, welches zum 3. Oktober 1990?
Lösungen anzeigen
  1. 1849 Paulskirchenverfassung; 1871 Reichsgründung; 1949 Bundesrepublik; 1990 Wiedervereinigung.
  2. Es kommt auch darauf an, ob die Regierung vom Vertrauen des Parlaments abhängig ist und ob freie Wahlen, Grundrechte und wirksame Machtkontrolle bestehen.
  3. 9. November 1989: Mauerfall. 3. Oktober 1990: staatliche Wiedervereinigung.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Kategorien
Geo

Die Meere

Lernziel: Du kannst die fünf großen Ozeanbecken zuordnen und wichtige europäische Meere finden. Rund 71 % der Erdoberfläche sind von Ozeanen bedeckt. Das Wasser bildet ein zusammenhängendes Weltmeer, das geografisch in Ozeane unterteilt wird. Zwischen Europa/Afrika und Amerika liegt der Atlantik. Westlich von Amerika und östlich von Asien/Australien liegt der Pazifik. Der Indische Ozean liegt zwischen Afrika, Asien und Australien. Der Arktische Ozean umgibt den Nordpol; der Südliche Ozean oder das Südpolarmeer umgibt Antarktika.

Weltkarte mit den Ozeanen
Bildquellen: Wikipedia

Europa grenzt im Westen an den Atlantik und im Süden an das Mittelmeer. Im Norden liegen unter anderem das Europäische Nordmeer und arktische Meeresgebiete. Deutschland hat Küsten an Nordsee und Ostsee. Die Adria ist ein Teil des Mittelmeers östlich von Italien. Der Bosporus verbindet das Schwarze Meer mit dem Marmarameer. Über die Dardanellen geht es von dort in die Ägäis und damit ins Mittelmeer. Das Kaspische Meer ist ein abflussloses Binnengewässer und besitzt keine natürliche Verbindung über den Bosporus zum Mittelmeer.

Karte Europas und seiner angrenzenden Meere
Bildquelle: Wikepedia

Meer, Ozean und Meerenge

Ein Ozean ist eines der großen Becken des zusammenhängenden Weltmeers. Nordsee, Ostsee und Mittelmeer sind kleinere Meeresräume. Eine Meerenge ist eine schmale Wasserverbindung zwischen größeren Gewässern, etwa der Bosporus.

Übungsaufgaben

  1. Welcher Ozean liegt zwischen Afrika und Südamerika?
  2. Welche Gewässer verbindet der Bosporus unmittelbar?
  3. Nenne Deutschlands zwei Küstenmeere.
Lösungen anzeigen
  1. Der Atlantik.
  2. Schwarzes Meer und Marmarameer.
  3. Nordsee und Ostsee.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Kategorien
Geo

Die Kontinente

Lernziel: Du kannst die Kontinente benennen, auf einer Weltkarte finden und unterschiedliche Zählweisen erklären.

Ein Kontinent ist ein sehr großer zusammenhängender Landraum. Seine Abgrenzung ist teilweise geografisch, teilweise historisch und kulturell geprägt. Darum gibt es mehrere gebräuchliche Modelle.

Häufig unterscheidet man sieben Kontinente: Europa, Asien, Afrika, Nordamerika, Südamerika, Australien und Antarktika. Im Sechs-Kontinente-Modell werden beispielsweise Nord- und Südamerika zu Amerika zusammengefasst; dieses Modell zeigen die Karten unten. Europa und Asien bilden eine zusammenhängende Landmasse, Eurasien. Ihre Trennung folgt einer vereinbarten Grenzziehung, unter anderem am Ural. Australien bezeichnet sowohl einen Staat als auch einen Kontinent; „Ozeanien“ meint einen umfassenderen geografischen Raum mit zahlreichen Inseln im Pazifik. Antarktika ist der Kontinent am Südpol, während Antarktis auch die umgebende südliche Polarregion bezeichnen kann. Die Arktis am Nordpol ist eine Region mit einem Ozean in der Mitte und kein eigener Kontinent.

  • Afrika
  • Amerika
  • Antarktis
  • Asien
  • Australien
  • Europa
Bildquelle: Wikipedia

 

Länder und Kontinente sind verschiedene Einteilungen.

Russland und die Türkei sind zwei Beispiele für Staaten mit Gebieten in Europa und Asien. Je nach Grenzziehung werden auch weitere Staaten beiden Kontinenten zugerechnet.

  1. Zum einen ist dies Russland, das bis zum Uralgebirge zu Europa und östlich davon zu Asien gehört .
  2. Und in der Türkei trennt der Bosporus, die Meerenge zwischen Schwazen Meer und Marmarameer, Europa von Asien.
Bildquelle: Wikipedia

So orientierst du dich auf einer Weltkarte

  1. Suche zuerst Äquator, Nordpol und Südpol. Norden liegt auf vielen Karten oben, aber eine Kartenorientierung ist eine Darstellungsentscheidung.
  2. Zwischen Europa/Afrika und Amerika liegt der Atlantik. Zwischen Amerika und Asien/Australien liegt der Pazifik.
  3. Der Äquator durchquert unter anderem Südamerika und Afrika. Antarktika umgibt den Südpol.

Übungsaufgaben

  1. Nenne die sieben Kontinente des hier verwendeten Modells.
  2. Warum können Karten sechs statt sieben Kontinente nennen?
  3. Was unterscheidet die Arktis von Antarktika?
Lösungen anzeigen
  1. Europa, Asien, Afrika, Nordamerika, Südamerika, Australien, Antarktika.
  2. Zum Beispiel werden Nord- und Südamerika zu Amerika zusammengefasst. Es handelt sich um eine andere Konvention.
  3. Die Arktis ist die nördliche Polarregion mit dem Arktischen Ozean; Antarktika ist eine Landmasse am Südpol.
Kategorien
Rechnen

Termumformung

Lernziel: Du kannst Terme ordnen, ausmultiplizieren und faktorisieren. Du unterscheidest einen Term von einer Gleichung.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein Rechenausdruck, zum Beispiel 3x + 2. Er enthält noch keine Behauptung, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Eine Gleichung wie 3x + 2 = 11 setzt zwei Terme gleich. Bei einer Termumformung bleibt der Wert des Ausdrucks für alle erlaubten Werte der Variablen erhalten.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Du darfst nur Terme mit demselben Variablenteil zusammenfassen: 3x + 5x = 8x, aber 3x + 5x2 bleibt so stehen. Beim Umordnen gehört ein Minus zum folgenden Summanden: a − b = a + (−b).

Klammern auflösen und ausklammern

    \[a(b+c)=ab+ac,\qquad ab+ac=a(b+c)\]

Beispiel: 3(2x − 4) = 6x − 12. Rückwärts: 6x − 12 = 6(x − 2). Bei −(x − 4) wechseln beide Vorzeichen: −x + 4. Prüfe beim Ausklammern jeden Summanden durch Division durch den ausgeklammerten Faktor.

    \[2x^3y+4x^2y+2xy=2xy(x^2+2x+1)\]

Binomische Formeln

    \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

    \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

    \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Beispiel: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Der mittlere Term entsteht, weil beim Ausmultiplizieren zweimal 3x vorkommt. Rückwärts erkennst du x2 − 10x + 25 = (x − 5)2.

Bruchterme und Definitionsbereich

Beim Term (x2 − 1)/(x − 1) ist x = 1 ausgeschlossen. Nach dem Faktorisieren darfst du x − 1 kürzen und erhältst x + 1, aber weiterhin nur für x ≠ 1. Ein vereinfachter Ausdruck erweitert nicht automatisch den ursprünglichen Definitionsbereich.

Von der Termumformung zur Gleichung

Bei 3(x − 2) = 12 teilst du beide Seiten durch 3: x − 2 = 4. Danach addierst du auf beiden Seiten 2: x = 6. Probe: 3(6 − 2) = 12. Rechenschritte auf beiden Seiten müssen die Gleichheit erhalten; durch einen möglicherweise null werdenden Ausdruck darfst du nicht einfach teilen.

Übungsaufgaben

  1. Vereinfache 4x − 3 + 2x + 8.
  2. Löse −2(3x − 5) auf.
  3. Faktorisiere x2 − 9.
  4. Löse 2(x + 3) = 14 und mache eine Probe.
Lösungen anzeigen
  1. 6x + 5.
  2. −6x + 10.
  3. (x − 3)(x + 3).
  4. x + 3 = 7, also x = 4. Probe: 2 · 7 = 14.

Weiterlernen

Kategorien
Rechnen

Bruchrechnung

Lernziel: Du kannst Brüche kürzen, erweitern und mit ihnen rechnen. Außerdem erkennst du denselben Anteil als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl.

Zähler und Nenner

Der Bruch 3/4 bedeutet: Ein Ganzes wird in vier gleich große Teile geteilt, davon werden drei genommen. Die 3 heißt Zähler, die 4 Nenner. Ein Bruch ist zugleich eine Division: 3 : 4 = 3/4. Ein Nenner darf niemals 0 sein.

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich 0. Beim Kürzen teilst du beide durch denselben gemeinsamen Faktor. Der Wert des Bruches bleibt gleich.

    \[\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20},\qquad \frac{18}{24}=\frac{3}{4}\]

Addieren und Subtrahieren

Du brauchst einen gemeinsamen Nenner. Dann addierst oder subtrahierst du nur die Zähler; der Nenner bleibt stehen. Ein gemeinsamer Nenner muss nicht der kleinste sein, der kleinste macht die Rechnung aber oft kürzer.

    \[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\]

    \[\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\]

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Du darfst gemeinsame Faktoren vorher kürzen. Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Der Divisor darf nicht 0 sein.

    \[\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},\qquad \frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\]

Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Prozent bedeutet „von hundert“: 20 % = 20/100 = 1/5 = 0,2. Um 20 % von 17 zu berechnen, multiplizierst du 17 mit 0,2. Das Ergebnis ist 3,4. Eine Dezimalzahl erhältst du aus einem Bruch durch Division des Zählers durch den Nenner.

BruchDezimalzahlProzent
1/20,550 %
1/40,2525 %
3/40,7575 %
1/50,220 %

Typische Fehler: 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Und Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren erlaubt, nicht über einzelne Summanden hinweg.

Übungsaufgaben

  1. Berechne 2/5 + 1/10.
  2. Berechne 3/4 · 8/9.
  3. Berechne 5/6 : 10/3.
  4. Wie viel sind 15 % von 80?
Lösungen anzeigen
  1. 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2.
  2. 24/36 = 2/3.
  3. 5/6 · 3/10 = 15/60 = 1/4.
  4. 0,15 · 80 = 12.

Weiterlernen

Kategorien
Rechnen

Potenzen und Wurzeln

Lernziel: Du kannst Potenzen berechnen, Potenzgesetze anwenden und Wurzeln als Potenzen schreiben. Voraussetzung: Multiplikation und Bruchrechnung.

Was bedeutet eine Potenz?

In 24 ist 2 die Basis und 4 der Exponent. Ein positiver ganzzahliger Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Achtung: Das ist nicht 2 · 4.

Die wichtigsten Potenzgesetze

Für die folgende Regelsammlung nehmen wir positive Basen x und y an. Damit sind auch gebrochene Exponenten eindeutig als reelle Zahlen definiert.

    \[x^0=1,\qquad x^1=x,\qquad x^{-n}=\frac{1}{x^n}\]

    \[x^m x^n=x^{m+n},\qquad \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n},\qquad (x^m)^n=x^{mn}\]

    \[(xy)^n=x^ny^n,\qquad \left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}\]

Bei der Multiplikation mit gleicher Basis addierst du die Exponenten; beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie. Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert: 2−3 = 1/8.

Wurzeln als Potenzen

    \[\sqrt[n]{x}=x^{1/n},\qquad \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}\quad(x>0,\ n\in\mathbb N,\ n\geq2)\]

Beispiel: 161/2 = √16 = 4 und 82/3 = (∛8)2 = 4. Bei geraden Wurzeln sind negative Radikanden in den reellen Zahlen nicht erlaubt. Die Quadratwurzel bezeichnet immer die nichtnegative Lösung: √9 = 3.

Vorzeichen, Null und typische Fehler

  • (−3)2 = 9, aber −32 = −9: Die Klammer entscheidet, ob das Minus mit potenziert wird.
  • Für x ≠ 0 gilt x0 = 1. Der Ausdruck 00 ist in dieser Schulregelliste nicht definiert. Negative Exponenten sind bei der Basis 0 ebenfalls nicht definiert.
  • Potenzen verteilen sich im Allgemeinen nicht über Summen: (2 + 3)2 = 25, aber 22 + 32 = 13.
  • Für jede reelle Zahl x gilt √(x2) = |x|. Beispiel: √((−5)2) = 5.

Übungsaufgaben

  1. Berechne 32 · 34.
  2. Vereinfache (x3)2/x4 für x > 0.
  3. Berechne 251/2, 2−4 und (−2)3.
  4. Erkläre, warum √(a + b) nicht allgemein √a + √b ist.
Lösungen anzeigen
  1. 36 = 729.
  2. x6/x4 = x2.
  3. 5; 1/16; −8.
  4. Gegenbeispiel a = b = 1: links √2, rechts 2.

Weiterlernen