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Biologie

Fotosynthese und Zellatmung: Wie Lebewesen Energie nutzen

Lernziel: Du erklärst, woher Pflanzen ihre Baustoffe und Energie erhalten, und unterscheidest Fotosynthese von Zellatmung. Vorwissen: Zellen und ihre Bestandteile.

Wovon wächst eine Bohnenpflanze?

Eine Pflanze wird größer, obwohl sie keine Nahrung wie ein Tier frisst. Ihre Wurzeln nehmen Wasser und Mineralstoffe auf. Über kleine Öffnungen in den Blättern, die Spaltöffnungen, gelangt Kohlenstoffdioxid aus der Luft hinein. Licht liefert die Energie, um daraus organische Stoffe aufzubauen. Ein großer Teil des Kohlenstoffs in der Pflanze stammt deshalb aus der Luft – nicht aus der Erde.

Illustration einer grünen Bohnenpflanze mit Blättern, Stängel und sichtbaren Wurzeln im Boden.
Wurzeln nehmen Wasser und Mineralstoffe auf; Blätter nehmen Kohlenstoffdioxid aus der Luft auf. Sonnenlicht liefert Energie für den Aufbau organischer Stoffe. KI-generierte, vereinfachte Illustration; die hellen Kugeln im Boden sind keine maßstabsgetreuen Wassermoleküle.

Fotosynthese: Lichtenergie wird chemisch nutzbar

In den Chloroplasten absorbieren Blattfarbstoffe wie Chlorophyll Licht. Die Fotosynthese umfasst viele Reaktionsschritte. Als vereinfachte Gesamtbilanz lässt sich schreiben:

Kohlenstoffdioxid + Wasser → Glucose + Sauerstoff
Benötigt werden Lichtenergie und die fotosynthetische Ausstattung der Zelle.

6 CO2 + 6 H2O → C6H12O6 + 6 O2

Die Glucoseformel fasst den Aufbau energiereicher Kohlenhydrate zusammen. Pflanzen verwenden solche Stoffe unter anderem als Ausgangsmaterial für Cellulose, zur Speicherung als Stärke und für ihren eigenen Stoffwechsel. Der abgegebene Sauerstoff entsteht bei der Spaltung von Wasser. Licht ist dabei eine Energiequelle und kein stofflicher Baustein.

Zellatmung: Energie für die Arbeit der Zelle

Zellen benötigen Energie beispielsweise für Stofftransporte, Wachstum und die Herstellung von Molekülen. Bei der aeroben Zellatmung wird Glucose unter Verbrauch von Sauerstoff schrittweise abgebaut. Ein Teil der dabei frei werdenden Energie wird für die Bildung von ATP genutzt, einem unmittelbar nutzbaren chemischen Energieträger. Ein weiterer Teil wird als Wärme abgegeben.

Glucose + Sauerstoff → Kohlenstoffdioxid + Wasser
C6H12O6 + 6 O2 → 6 CO2 + 6 H2O

Bei Eukaryoten beginnt der Abbau im Cytoplasma; wesentliche weitere Schritte finden in den Mitochondrien statt. Die Summengleichungen von Fotosynthese und Zellatmung wirken wie Umkehrungen. Tatsächlich laufen sie über unterschiedliche Reaktionen und Enzyme ab.

Zwei Prozesse im Vergleich

FrageFotosyntheseAerobe Zellatmung
Was passiert?Aufbau organischer Stoffe mithilfe von Lichtenergie.Abbau organischer Stoffe; Energie wird für ATP-Bildung nutzbar.
Welche Stoffe werden benötigt?In der vereinfachten Bilanz: CO₂ und Wasser.In der vereinfachten Bilanz: Glucose und Sauerstoff.
Welche Stoffe entstehen?Kohlenhydrate und Sauerstoff.CO₂ und Wasser.
Wann läuft sie in der Pflanze?Bei geeignetem Licht und passenden Bedingungen.Tagsüber und nachts in lebenden, stoffwechselaktiven Zellen.

Warum Pflanzen auch nachts leben

Eine Pflanze stellt die Zellatmung nicht ein, wenn es hell wird. Bei ausreichendem Licht kann ihre Fotosynthese mehr Kohlenstoffdioxid aufnehmen, als die Zellatmung abgibt. Nachts fehlt die Lichtenergie für die Fotosynthese; die Zellatmung nutzt gespeicherte Stoffe weiter. Pflanzen betreiben beide Prozesse.

Daran zeigt sich auch der Unterschied zwischen Stoff und Energie: Kohlenstoff kann in Stoffkreisläufen wiederholt eingebaut und freigesetzt werden. Energie kommt überwiegend als Sonnenlicht ins Ökosystem und wird bei Umwandlungen nach und nach als Wärme an die Umgebung abgegeben.

Ein einfaches Gedankenexperiment

Zwei vergleichbare Pflanzen erhalten gleich viel Wasser und stehen bei ähnlicher Temperatur. Eine steht dauerhaft im Dunkeln. Anfangs kann sie von Reserven zehren. Langfristig fehlt ihr aber die Energiequelle für den Aufbau neuer organischer Stoffe durch Fotosynthese. Mehr Dünger ersetzt das Licht nicht.

Teste dein Verständnis

  1. Woher stammt der Kohlenstoff in der Glucose einer Bohnenpflanze?
  2. Warum braucht auch eine grüne Pflanze Mitochondrien?
  3. Kann eine Pflanze im Licht gleichzeitig Sauerstoff bilden und verbrauchen?
  4. Zähle die Kohlenstoff-, Wasserstoff- und Sauerstoffatome auf beiden Seiten der Fotosynthesegleichung.
Lösungen anzeigen
  1. Aus dem Kohlenstoffdioxid der Luft.
  2. Sie nutzt Zellatmung zur Bereitstellung von ATP; Mitochondrien übernehmen wesentliche Schritte.
  3. Ja. Fotosynthese bildet Sauerstoff, aerobe Zellatmung verbraucht ihn. Der Netto-Gasaustausch hängt von den Raten beider Prozesse ab.
  4. Auf beiden Seiten stehen 6 Kohlenstoff-, 12 Wasserstoff- und 18 Sauerstoffatome.

Verbindungen: Chemische Reaktionen erklärt die Bilanzierung. Energie, Arbeit und Leistung erklärt den Energiebegriff.

Quellen und weiterführendes Wissen

Stand: 18. Oktober 2026. Erklärungen und Aufgaben für die Mittelstufe; gekennzeichnete Vertiefungen führen weiter.

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Biologie

Zellen: die Bausteine des Lebens

Lernziel: Du kannst zentrale Zellbestandteile ihren Aufgaben zuordnen und Pflanzen-, Tier- und Bakterienzellen unterscheiden. Einstieg ab etwa Klasse 7.

Warum beginnt Biologie bei der Zelle?

Eine Bohnenpflanze, ein Mensch und ein Bakterium sehen sehr verschieden aus. Trotzdem beruhen ihre Lebensvorgänge auf Zellen. Eine Zelle ist die kleinste lebende Einheit. Manche Lebewesen bestehen aus einer einzigen Zelle, andere aus sehr vielen spezialisierten Zellen, die zusammenarbeiten.

Stell dir eine Zelle als eine kleine Werkstatt vor: Sie nimmt Stoffe auf, baut Stoffe um und gibt Stoffe ab. Für diese Vorgänge benötigt sie Energie. Ihre Erbinformation enthält Anleitungen für den Aufbau von Proteinen. Die Werkstatt ist ein Vergleich – in der Zelle plant niemand bewusst, sondern Moleküle wirken nach physikalischen und chemischen Regeln zusammen.

Die wichtigsten Bestandteile

BestandteilAufgabeWo kommt er vor?
ZellmembranGrenzt die Zelle ab und regelt den Stoffaustausch.In allen Zellen.
CytoplasmaWässriger Zellinhalt außerhalb des Zellkerns; hier laufen viele Reaktionen ab.In allen Zellen.
Erbmaterial (DNA)Speichert genetische Information.In allen Zellen; bei Bakterien ohne umgebenden Zellkern.
ZellkernEnthält bei typischen Tier- und Pflanzenzellen den größten Teil der DNA.Bei Eukaryoten; manche spezialisierten Zellen verlieren ihren Kern.
RibosomenStellen nach einer RNA-Vorlage Proteine her.In allen Zellen.
MitochondrienBeteiligt an der Zellatmung und an der Bereitstellung von ATP.In typischen Tier- und Pflanzenzellen.
ZellwandGibt zusätzliche Form und Stabilität.Bei Pflanzen aus Cellulose; auch Bakterien haben meist eine anders aufgebaute Zellwand.
ChloroplastenBetreiben Fotosynthese.In fotosynthetisch aktiven Pflanzenzellen, zum Beispiel im Blatt.
Große ZentralvakuoleSpeichert unter anderem Wasser und gelöste Stoffe; trägt zum Innendruck bei.Typisch für ausgewachsene Pflanzenzellen.

Pflanzenzelle oder Tierzelle?

Beide besitzen normalerweise einen Zellkern, eine Zellmembran, Ribosomen und Mitochondrien. Die typische Pflanzenzelle hat zusätzlich eine Zellwand und eine große Zentralvakuole. Chloroplasten findest du vor allem in grünen Pflanzenteilen. Eine Wurzelzelle muss deshalb keine Chloroplasten haben, obwohl sie zur Pflanze gehört. Tierzellen besitzen weder eine Zellwand aus Cellulose noch Chloroplasten.

Bakterien sind ebenfalls Lebewesen

Bakterien gehören zu den Prokaryoten. Ihre DNA liegt nicht in einem von einer Membran umschlossenen Zellkern. Sie haben dennoch Erbmaterial, eine Zellmembran und Ribosomen. Eukaryoten sind Lebewesen, deren Zellen grundsätzlich einen solchen Zellkern besitzen; dazu gehören Tiere, Pflanzen und Pilze. Viren sind dagegen keine Zellen und benötigen Wirtszellen für ihre Vermehrung.

Vom Baustein zum Organismus

Zelle → Gewebe → Organ → Organsystem → Organismus. Viele ähnlich spezialisierte Zellen bilden beispielsweise Muskelgewebe. Das Herz besteht aus mehreren Gewebearten und ist ein Organ. Zusammen mit den Blutgefäßen gehört es zum Kreislaufsystem. Ein einzelnes Organ arbeitet also nicht unabhängig vom übrigen Körper.

Bei der Bohnenpflanze sind Blatt und Wurzel unterschiedliche Organe. Blattzellen können Licht für die Herstellung energiereicher Stoffe nutzen. Wurzelhaarzellen besitzen lange Ausstülpungen, die die Kontaktfläche zum Boden vergrößern. Aufbau und Funktion passen zusammen.

Illustration einer grünen Bohnenpflanze mit Blättern, Stängel und sichtbaren Wurzeln im Boden.
Blatt und Wurzel sind Organe mit unterschiedlichen Aufgaben. Sie bestehen aus spezialisierten Zellen und Geweben. KI-generierte, vereinfachte Illustration.

Beobachten und sinnvoll schließen

Unter dem Lichtmikroskop erkennt man in einer dünnen Zwiebelhaut oft die Zellgrenzen besonders gut. Ohne geeignete Präparation sieht man aber nicht alle Zellbestandteile. Wenn du etwas nicht erkennen kannst, folgt daraus nicht, dass es fehlt. In einer Zeichnung sind zudem Farben, Größen und Abstände häufig vereinfacht.

Teste dein Verständnis

  1. Warum ist „Pflanzen besitzen Chloroplasten, Tiere besitzen Mitochondrien“ als Gegenüberstellung falsch?
  2. Welche zwei Bestandteile besitzt eine Bakterienzelle trotz fehlendem Zellkern?
  3. Ordne Herz, Muskelzelle und Muskelgewebe von klein nach groß.
  4. Eine Wurzelzelle enthält keine Chloroplasten. Ist sie deshalb eine Tierzelle? Begründe.
Lösungen anzeigen
  1. Pflanzenzellen besitzen normalerweise ebenfalls Mitochondrien. Chloroplasten kommen zusätzlich in fotosynthetisch aktiven Pflanzenzellen vor.
  2. Zum Beispiel Zellmembran und Ribosomen. Auch Erbmaterial ist vorhanden.
  3. Muskelzelle → Muskelgewebe → Herz.
  4. Nein. Wurzelzellen sind Pflanzenzellen, auch ohne Chloroplasten. Unter anderem die Zellwand und die große Vakuole sind typische Merkmale.

Weiterlernen: Fotosynthese und Zellatmung · Alle Biologie-Themen

Quellen und weiterführendes Wissen

Stand: 18. Oktober 2026. Erklärungen und Aufgaben für die Mittelstufe; gekennzeichnete Vertiefungen führen weiter.

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IT

Struktur einer Webseite: HTML, CSS und JavaScript

Lernziel: Du verstehst den Aufbau eines HTML-Dokuments und kannst eine kleine Webseite selbst verändern. Geeignet ab etwa Klasse 7; Programmiererfahrung ist nicht erforderlich.

Drei Aufgaben, drei Sprachen

TechnikAufgabeBeispiel
HTMLInhalt und Bedeutung strukturierenÜberschrift, Absatz, Link, Schaltfläche.
CSSDie Darstellung gestaltenFarben, Abstände, Schriftgrößen.
JavaScriptVerhalten programmierenAuf einen Klick reagieren und Text verändern.

HTML ist eine Auszeichnungssprache. Ein Element kann aus Start-Tag, Inhalt und End-Tag bestehen: <p>Hallo</p>. Attribute ergänzen Angaben, etwa das Linkziel in <a href="https://joevoi.de">Wissenswert</a>. Einige Elemente wie <meta> haben kein End-Tag.

Der Rahmen eines Dokuments

  • <!doctype html> aktiviert den modernen HTML-Standardmodus.
  • <html lang="de"> umschließt das Dokument und kennzeichnet seine Sprache.
  • Im <head> stehen Metadaten: Zeichencodierung, Seitentitel und Hinweise zur Darstellung. Der Seitentitel erscheint beispielsweise im Browser-Tab.
  • Im <body> steht der sichtbare Seiteninhalt.
  • <header>, <main> und <footer> geben Bereichen eine Bedeutung. Überschriften ordnen Inhalte hierarchisch.

Ein vollständiges Beispiel zum Ausprobieren

Kopiere den folgenden Code in eine reine Textdatei namens index.html und öffne sie im Browser. Verwende einen Texteditor, kein Textverarbeitungsdokument. Für dieses Beispiel brauchst du weder einen Server noch eine zusätzliche Bibliothek. Wenn du einen Onlineeditor nutzt, kannst du HTML, CSS und JavaScript bei Bedarf auf dessen getrennte Felder verteilen.

<!doctype html>
<html lang="de">
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1">
  <title>Meine erste Lernseite</title>
  <style>
    body { font-family: sans-serif; max-width: 42rem;
           margin: 2rem auto; padding: 0 1rem; }
    h1 { color: #185c70; }
    button { padding: 0.7rem 1rem; }
  </style>
</head>
<body>
  <header><h1>Mein Lernprojekt</h1></header>
  <main>
    <h2>Eine kleine Interaktion</h2>
    <p id="meldung" aria-live="polite">Ich lerne HTML, CSS und JavaScript.</p>
    <button id="knopf" type="button">Zeige eine Nachricht</button>
  </main>
  <footer><p>Selbst gebaut und ausprobiert.</p></footer>
  <script>
    const knopf = document.querySelector("#knopf");
    const meldung = document.querySelector("#meldung");
    knopf.addEventListener("click", () => {
      meldung.textContent = "Der Klick hat funktioniert!";
    });
  </script>
</body>
</html>

Was passiert beim Klick?

Der Browser erstellt aus dem HTML eine Baumstruktur, das Document Object Model (DOM). JavaScript findet über querySelector die Elemente mit den IDs knopf und meldung. Ein Ereignisbehandler wartet auf einen Klick. Dann ersetzt textContent den Text des Absatzes. Das Skript steht hier am Ende des Dokuments, damit die vorherigen Elemente schon vorhanden sind.

Die CSS-Regel h1 { color: #185c70; } wählt die Hauptüberschrift aus und gibt ihr eine Farbe. Das Zeichen # in einem CSS-Selektor wie #knopf bezeichnet dagegen eine ID. Dieselbe Schreibweise kann also je nach Position eine andere Aufgabe erfüllen.

Gut lesbar und bedienbar bauen

  • Nutze echte Überschriften und echte Schaltflächen. Ein <button> kann auch per Tastatur bedient werden.
  • Vergib für informative Bilder einen passenden Alternativtext. Rein dekorative Bilder können einen leeren Alternativtext erhalten.
  • Wähle ausreichend kontrastreiche Farben und verständliche Linktexte.
  • Eine ID darf in einem Dokument nur einmal vorkommen. Achte auf richtig geschlossene und verschachtelte Tags.

Das Beispiel enthält bewusst alle Teile in einer Datei. Größere Projekte lagern CSS meist in eine Datei wie style.css und JavaScript in script.js aus. Eine WordPress-Seite wird zusätzlich auf dem Server aus Inhalten und einer Vorlage zusammengesetzt; der Browser erhält trotzdem HTML, CSS und JavaScript.

Übungsaufgaben

  1. Ändere die Farbe der Hauptüberschrift auf dunkelrot.
  2. Ändere den Text, der nach dem Klick erscheint.
  3. Füge vor der Schaltfläche einen Link zur Startseite von joevoi.de ein.
  4. Was unterscheidet den Inhalt von <title> und <h1>?
Lösungen anzeigen
  1. Ändere die CSS-Regel zu h1 { color: darkred; }.
  2. Ändere die Zeichenkette rechts von meldung.textContent =.
  3. Füge <p><a href="https://joevoi.de">Zur Startseite</a></p> ein.
  4. title ist der Dokumenttitel, unter anderem für den Browser-Tab. h1 ist die sichtbare Hauptüberschrift im Seiteninhalt.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

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IT

Wie funktioniert das Internet? Vom WLAN zur Webseite

Lernziel: Du unterscheidest WLAN, Internet und Web und kannst erklären, wie eine Webseite auf dein Gerät gelangt. Geeignet ab etwa Klasse 7.

Ein Netz aus vielen Netzen

Das Internet verbindet viele eigenständig betriebene Computernetze. Über Kabel, Glasfaser, Funk und weitere Übertragungswege werden Daten zwischen Geräten ausgetauscht. Es gibt keinen einzelnen Computer, der „das Internet“ ist.

Das World Wide Web ist ein Dienst, der das Internet nutzt: verlinkte Webseiten, die ein Browser abruft. E-Mail und andere Dienste verwenden das Internet ebenfalls. Eine Suchmaschine hilft beim Finden von Webseiten; sie ist weder das Internet noch der Browser.

Was passiert zu Hause?

BausteinAufgabe
WLAN / Access PointVerbindet Geräte drahtlos mit einem lokalen Netzwerk.
SwitchVerbindet Geräte innerhalb eines lokalen kabelgebundenen Netzwerks.
RouterVerbindet unterschiedliche Netze und leitet Datenpakete weiter.
Modem oder GlasfaserabschlussStellt die technische Verbindung zum Anschlussnetz her.
InternetanbieterVerbindet das Heimnetz mit weiteren Netzen.

Eine Heimrouter-Box kann mehrere dieser Aufgaben in einem Gerät vereinen. Ein zusätzlicher Access Point erweitert das WLAN. Guter WLAN-Empfang garantiert noch keinen Internetzugang: Das Gerät kann mit dem Heimnetz verbunden sein, obwohl der Anschluss nach draußen gestört ist.

IP-Adresse, Domain und DNS

Eine IP-Adresse wird verwendet, um Daten zu einem Ziel im Netzwerk zu adressieren. Für Menschen sind Namen wie joevoi.de leichter zu merken. Das Domain Name System (DNS) liefert zu einem Namen passende Informationen, insbesondere IP-Adressen. Das ist ungefähr mit einem Adressverzeichnis vergleichbar. Ein Name kann mehrere Adressen haben, und mehrere Namen können dieselbe Serverinfrastruktur nutzen.

Beispiel: Du öffnest joevoi.de

  1. Du gibst die Adresse in den Browser ein.
  2. Der Browser nutzt bereits gespeicherte DNS-Informationen oder lässt die Adresse auflösen.
  3. Über das lokale Netzwerk, den Internetanbieter und weitere Netze wird eine Verbindung zum Ziel aufgebaut.
  4. Bei HTTPS wird die Verbindung verschlüsselt und das Serverzertifikat geprüft.
  5. Der Browser fordert die Seite über HTTP an. Der Server antwortet mit dem Dokument; zusätzliche Dateien wie Bilder und CSS werden bei Bedarf nachgeladen.
  6. Der Browser verarbeitet HTML, Gestaltung und gegebenenfalls JavaScript und zeigt die Seite an.

Das ist eine vereinfachte Darstellung: Zwischenspeicher können Teile des Abrufs verkürzen. Auch ein Content Delivery Network kann eine Kopie näher am Nutzer ausliefern.

Warum Datenpakete?

Daten werden in kleinere Einheiten übertragen. Router leiten Pakete anhand von Adressinformationen weiter. Transportprotokolle wie TCP oder QUIC können dafür sorgen, dass Daten zuverlässig und in der richtigen Reihenfolge für die Anwendung bereitstehen. IP allein garantiert keine zuverlässige Zustellung.

HTTPS und sinnvolle Fehlersuche

HTTPS schützt die Übertragung zwischen Browser und dem jeweiligen HTTPS-Endpunkt vor einfachem Mitlesen und Veränderungen. Es beweist nicht, dass eine Webseite inhaltlich wahr oder geschäftlich seriös ist.

  • Nur eine Webseite lädt nicht: Prüfe eine andere Seite; die Ursache kann beim Ziel liegen.
  • Kein Gerät erreicht das Internet, WLAN ist aber verbunden: Prüfe Routerstatus und Internetanschluss.
  • Nur ein Gerät ist betroffen: Prüfe dessen Netzwerkverbindung und Einstellungen.
  • Der Browser meldet einen Zertifikatsfehler: Nicht blind übergehen; prüfe Adresse und Datum des Geräts.

Übungsaufgaben

  1. Kann WLAN funktionieren, obwohl das Internet ausgefallen ist?
  2. Welche Aufgabe hat DNS?
  3. Was unterscheidet Browser und Suchmaschine?
  4. Beweist HTTPS, dass ein Shop seriös ist?
Lösungen anzeigen
  1. Ja. WLAN verbindet zunächst nur mit dem lokalen Netzwerk.
  2. DNS löst Namen in zugehörige Informationen wie IP-Adressen auf.
  3. Der Browser ruft Webinhalte ab und stellt sie dar; eine Suchmaschine ist ein Dienst zum Finden von Inhalten.
  4. Nein. HTTPS schützt die Verbindung, nicht die Ehrlichkeit des Anbieters.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

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Rechnen

Bewegung verstehen: Kinematik, Kinetik, Ableitung und Integral

Lernziel: Du verknüpfst Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung und erkennst Ableitung und Integral im Sachzusammenhang. Grundlagen ab etwa Klasse 9; der Abschnitt zu Ableitung und Integral richtet sich an die Oberstufe.

Kinematik und Kinetik unterscheiden

Kinematik beschreibt, wie sich etwas bewegt. Kinetik untersucht die Bewegung unter dem Einfluss von Kräften. Für die angekündigte Verbindung von Bewegung mit Ableitung und Integral beginnen wir mit der Kinematik und ergänzen anschließend die Kraftwirkung.

Wir betrachten eine Bewegung entlang einer geraden Achse. x(t) ist der Ort; sein Vorzeichen bezieht sich auf einen gewählten Nullpunkt. Die Ortsänderung Δx = x(t₂) − x(t₁) kann negativ sein. Sie ist nicht immer gleich der zurückgelegten Weglänge, etwa wenn jemand hin- und zurückläuft.

GrößeZeichenEinheit
ZeittSekunde (s)
OrtxMeter (m)
GeschwindigkeitvMeter pro Sekunde (m/s)
BeschleunigungaMeter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²)
KraftFNewton (N)

Mittlere Geschwindigkeit

    \[\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]

Ein Fahrrad legt geradlinig 120 m in 20 s in positiver Richtung zurück. Seine mittlere Geschwindigkeit ist 120/20 = 6 m/s. Für km/h multiplizierst du mit 3,6: 21,6 km/h. Umgekehrt entspricht 72 km/h einer Geschwindigkeit von 20 m/s.

Die mittlere Geschwindigkeit über ein Intervall sagt noch nicht, wie schnell das Fahrrad in jedem Augenblick war. Bei 10 m hin und 10 m zurück in 10 s ist die mittlere Geschwindigkeit aus der Ortsänderung 0 m/s, die mittlere Schnelligkeit aus dem Weg aber 20/10 = 2 m/s.

Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung

    \[v(t)=x'(t),\qquad a(t)=v'(t)=x''(t)\]

Die Ableitung beschreibt eine momentane Änderungsrate. Im Ort-Zeit-Diagramm entspricht die Geschwindigkeit der Tangentensteigung. Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm entspricht die Beschleunigung der Steigung. Ein waagerechter Ort-Graph bedeutet Stillstand; ein waagerechter Geschwindigkeitsgraph bedeutet konstante Geschwindigkeit.

Durchgerechnetes Beispiel

Für t in Sekunden sei der Zahlenwert des Ortes in Metern durch x(t) = t² + 2t gegeben. Dann lauten die Zahlenwertfunktionen v(t) = 2t + 2 und a(t) = 2. Die Einheiten sind m/s beziehungsweise m/s².

t in sx(t) in mv(t) in m/s
002
134
286
3158

Zwischen t = 1 s und t = 3 s beträgt die Ortsänderung 15 − 3 = 12 m. Die mittlere Geschwindigkeit ist 12 m / 2 s = 6 m/s. Bei t = 3 s ist die Momentangeschwindigkeit dagegen 8 m/s.

Mit dem Integral zurück zum Ort

    \[x(t_2)-x(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt\]

Im Beispiel ist eine Stammfunktion von 2t + 2 der Ausdruck t² + 2t. Also ergibt das Integral von 1 bis 3 den Wert (9 + 6) − (1 + 2) = 12 m. Für den absoluten Ort brauchst du zusätzlich einen Anfangsort.

    \[x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^{t}v(\tau)\,d\tau\]

Flächen unterhalb der Zeitachse zählen beim Integral negativ. Für die tatsächlich zurückgelegte Weglänge integrierst du |v(t)|. Die Aufgabe „Wie weit gefahren?“ verlangt deshalb gegebenenfalls eine Aufteilung an den Zeitpunkten eines Richtungswechsels.

Konstante Beschleunigung und Kraft

    \[v(t)=v_0+at,\qquad x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2\]

Diese Formeln gelten für konstante Beschleunigung und den Startzeitpunkt t = 0. Eine negative Beschleunigung bedeutet nicht immer Bremsen: Bei negativer Geschwindigkeit und negativer Beschleunigung nimmt die Schnelligkeit zu.

    \[F_{\mathrm{res}}=m\cdot a\]

In der klassischen Mechanik gilt bei konstanter Masse im Inertialsystem: Die resultierende Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Für m = 2 kg und a = 3 m/s² ergibt sich F = 6 N. Bei gleichförmiger geradliniger Bewegung ist die resultierende Kraft null; einzelne Kräfte können sich dabei gegenseitig ausgleichen.

Übungsaufgaben

  1. Wandle 90 km/h in m/s um.
  2. Für t in s und x in m gilt x(t) = 3t². Bestimme v(t), a(t) und v(2).
  3. Ein Körper fährt 4 s lang mit v = −3 m/s. Bestimme Ortsänderung und Weglänge.
  4. Eine resultierende Kraft von 10 N wirkt auf 5 kg. Bestimme die Beschleunigung.
Lösungen anzeigen
  1. 90/3,6 = 25 m/s.
  2. v(t) = 6t m/s bei t als Zahlenwert in Sekunden; a = 6 m/s²; v(2) = 12 m/s.
  3. Ortsänderung −12 m; Weglänge 12 m.
  4. a = F/m = 2 m/s².

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Rechnen

Zinsrechnung und Zinseszins: Schritt für Schritt

Lernziel: Du berechnest Zinsen, unterscheidest einfache Verzinsung und Zinseszins und kannst Kapital, Zinssatz oder Laufzeit ermitteln. Voraussetzung: Prozentrechnung und Potenzen.

Was sind Zinsen?

Zinsen sind ein Entgelt für die zeitweise Überlassung von Geld. Beim Sparen kannst du Zinsen erhalten; bei einem Kredit zahlst du üblicherweise Zinsen. Wir rechnen hier mit einem vereinfachten Modell: konstanter Zinssatz, keine Gebühren und keine Steuern. Die angegebenen Sätze sind Rechenbeispiele, keine aktuellen Angebote.

ZeichenBedeutungBeispiel
KKapital1 000 €
pZinssatz als Prozentzahl3
r = p/100Zinssatz als Dezimalzahl0,03
ZZinsbetrag30 € nach einem Jahr

Zinsen für ein Jahr

    \[Z=K\cdot\frac{p}{100}=K\cdot r\]

Beispiel: 1 000 € werden für ein Jahr zu 3 % verzinst. Z = 1 000 € · 0,03 = 30 €. Am Jahresende sind Kapital und Zins zusammen 1 030 €.

Kürzere Zeiträume: die Annahme angeben

Bei einfacher zeitanteiliger Verzinsung gilt Z = K · r · t, wobei t in Jahren gemessen wird. Für sechs Monate setzen wir im vereinfachten Monatsmodell t = 6/12 ein. Aus 1 000 € zu 3 % werden so 15 € Zinsen.

Bei Tagesaufgaben muss die Zählmethode vorgegeben sein. Im kaufmännischen 30/360-Modell werden Monate mit 30 und Jahre mit 360 Tagen gerechnet. Andere Verträge verwenden tatsächliche Tage und andere Jahreslängen. Die Methode darfst du nicht stillschweigend wechseln.

Zinseszins: Zinsen werden wieder mitverzinst

Bleiben die Zinsen auf dem Konto, wächst der Grundwert für das nächste Jahr. Bei jährlicher Gutschrift und konstantem Zinssatz gilt:

    \[K_n=K_0(1+r)^n\]

JahrRechnungKapital am Jahresende
11 000 · 1,031 030,00 €
21 030 · 1,031 060,90 €
31 060,90 · 1,031 092,73 €

Ohne Wiederanlage wären es nach drei Jahren 1 000 € + 3 · 30 € = 1 090 €. Mit Zinseszins ergeben sich rechnerisch 1 092,727 €, auf Cent gerundet 1 092,73 €. Bei Aufgaben möglichst erst am Ende runden, sofern keine jährliche Rundung vorgegeben ist.

Rückwärts rechnen

    \[K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n},\qquad r=\left(\frac{K_n}{K_0}\right)^{1/n}-1\]

    \[n=\frac{\ln(K_n/K_0)}{\ln(1+r)}\qquad(r>0)\]

Beispiel: Bei 5 % soll sich ein Anfangskapital verdoppeln. n = ln(2)/ln(1,05) ≈ 14,21. Werden Zinsen nur jährlich gutgeschrieben und sind volle Jahre gefragt, wird die Verdopplung erstmals nach 15 Jahren erreicht.

Typische Fehler

  • 3 % als 3 statt als 0,03 einsetzen.
  • Den Faktor 1,03 mit dem Zinsbetrag verwechseln.
  • Bei mehreren Jahren immer nur den ursprünglichen Zins addieren, obwohl Zinseszins gefragt ist.
  • Aus dem Rechenmodell auf reale Kaufkraft schließen: Inflation, Steuern und Kosten sind hier nicht berücksichtigt.

Übungsaufgaben

  1. Berechne die Jahreszinsen für 2 500 € bei 4 %.
  2. Wie viel wird aus 800 € nach zwei Jahren zu 5 % mit jährlichem Zinseszins?
  3. Ein Kapital wächst in zwei Jahren von 1 000 € auf 1 102,50 €. Bestimme den jährlichen Zinssatz.
  4. Berechne die Zinsen für 1 200 € zu 6 % für drei Monate im vereinfachten Monatsmodell.
Lösungen anzeigen
  1. 2 500 € · 0,04 = 100 €.
  2. 800 € · 1,05² = 882 €.
  3. r = √(1 102,50/1 000) − 1 = 0,05, also 5 %.
  4. 1 200 € · 0,06 · 3/12 = 18 €.

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Geschichte

Die Europäische Union: Staaten, Aufgaben und Entscheidungen

Lernziel: Du unterscheidest Europa und EU, kennst die wichtigsten EU-Institutionen und kannst einen vereinfachten Gesetzgebungsprozess erklären. Geeignet ab etwa Klasse 8.

Europa ist ein Kontinent, die EU ein politischer Zusammenschluss

Die Europäische Union besteht aus 27 Mitgliedstaaten (Stand: Oktober 2026). Deutschland gehört dazu, Norwegen, die Schweiz und das Vereinigte Königreich beispielsweise nicht. Die EU ist weder identisch mit Europa noch ein einzelner Staat. Ihre Mitgliedstaaten haben ihr durch Verträge bestimmte Aufgaben übertragen.

Nach dem Zweiten Weltkrieg sollte engere Zusammenarbeit Frieden sichern und wirtschaftliche Verflechtungen stärken. Aus den europäischen Gemeinschaften entwickelte sich die heutige EU. Die Mitgliedstaaten bleiben eigenständige Staaten, entscheiden in vereinbarten Bereichen aber gemeinsam.

Was bringt die Zusammenarbeit?

  • Binnenmarkt: Gemeinsame Regeln erleichtern den Austausch von Waren, Dienstleistungen und Kapital sowie die Freizügigkeit von Personen. Dabei gelten konkrete rechtliche Voraussetzungen.
  • Gemeinsame Standards: Beispielsweise für Verbraucher- und Umweltschutz.
  • Gemeinsame Projekte: Etwa bei Forschung, Infrastruktur und Austauschprogrammen.
  • Gemeinsames Gewicht: Staaten können bestimmte Interessen international gemeinsam vertreten.

Wer entscheidet?

InstitutionWer sitzt dort?Kernaufgabe
Europäisches ParlamentDirekt gewählte AbgeordneteBeschließt viele EU-Gesetze gemeinsam mit dem Rat; demokratische Kontrolle.
Rat der Europäischen UnionFachministerinnen und Fachminister der MitgliedstaatenVertritt die Regierungen bei Gesetzgebung und Koordination.
Europäische KommissionEin Mitglied je Mitgliedstaat; gemeinsames KollegiumSchlägt meist Gesetze vor, führt Aufgaben aus und überwacht die Anwendung des EU-Rechts.
Europäischer RatStaats- und Regierungschefs sowie sein Präsident und die Kommissionspräsidentin bzw. der KommissionspräsidentLegt die großen politischen Leitlinien fest; erlässt keine EU-Gesetze.
Gerichtshof der Europäischen UnionRichterinnen und Richter in der EU-GerichtsbarkeitSichert die einheitliche Auslegung und Anwendung des EU-Rechts.

Beispiel: Eine gemeinsame Produktregel entsteht

Angenommen, die EU will für ein bestimmtes Produkt eine einheitliche Kennzeichnung einführen. Im häufig verwendeten ordentlichen Gesetzgebungsverfahren läuft das vereinfacht so:

  1. Die Kommission erarbeitet einen Vorschlag.
  2. Parlament und Rat beraten den Text und können Änderungen verlangen.
  3. Beide müssen sich auf denselben Gesetzestext verständigen.
  4. Nach dem Beschluss wird die Regel je nach Rechtsform unmittelbar anwendbar oder muss von den Mitgliedstaaten umgesetzt werden.

Eine Verordnung gilt grundsätzlich unmittelbar. Eine Richtlinie verpflichtet die Mitgliedstaaten zum Erreichen vorgegebener Ziele und muss normalerweise in nationales Recht umgesetzt werden. Nicht alle EU-Entscheidungen folgen demselben Verfahren.

Drei häufige Verwechslungen

  • EU und Eurozone: Nicht jedes EU-Land verwendet den Euro.
  • EU und Schengenraum: Die gemeinsame Reiseregion ist nicht deckungsgleich mit der EU. Auch bestimmte Nicht-EU-Staaten gehören dazu; vorübergehende Grenzkontrollen bleiben unter Bedingungen möglich.
  • Europäischer Rat, Rat der EU, Europarat: Der Europarat ist eine eigenständige internationale Organisation und keine EU-Institution.

Ob eine Entscheidung auf EU-Ebene oder national getroffen werden soll, ist eine wichtige politische Frage. Das Subsidiaritätsprinzip verlangt in Bereichen geteilter Zuständigkeit eine Begründung, warum gemeinsames Handeln geeigneter ist.

Übungsaufgaben

  1. Ist die Schweiz ein EU-Mitglied?
  2. Wer wird direkt von den EU-Bürgerinnen und -Bürgern gewählt?
  3. Welcher Rat besteht aus nationalen Fachministerinnen und Fachministern?
  4. Wer entscheidet im ordentlichen Gesetzgebungsverfahren über einen Kommissionsvorschlag?
Lösungen anzeigen
  1. Nein. Europa als geografischer Raum und EU-Mitgliedschaft sind verschieden.
  2. Die Abgeordneten des Europäischen Parlaments.
  3. Der Rat der Europäischen Union.
  4. Europäisches Parlament und Rat der EU gemeinsam. Die Kommission kann den Vorschlag nicht allein zum Gesetz machen.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

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Geschichte

Demokratie und Gewaltenteilung: Wer entscheidet und wer kontrolliert?

Lernziel: Du kannst die drei Staatsgewalten unterscheiden und erklären, warum Demokratie mehr als Mehrheitsentscheidungen bedeutet. Geeignet ab etwa Klasse 8.

Was macht einen Staat demokratisch?

In einer Demokratie muss staatliche Herrschaft auf die Bevölkerung zurückführbar sein. In Deutschland geschieht das vor allem durch Wahlen zu Parlamenten. Menschen können politische Entscheidungen öffentlich diskutieren, sich organisieren und eine andere Regierung wählen.

Zur freiheitlichen Demokratie gehören außerdem Grundrechte, Rechtsstaatlichkeit, freie Medien und geschützte Opposition. Eine Mehrheit darf nicht beliebig die Rechte anderer abschaffen. Nach Artikel 20 des Grundgesetzes ist Deutschland ein demokratischer und sozialer Bundesstaat; staatliches Handeln ist an Verfassung, Gesetz und Recht gebunden.

Drei Gewalten, verschiedene Aufgaben

GewaltAufgabeBeispiele
LegislativeGesetze beschließen und Regierung kontrollierenBundestag; Beteiligung des Bundesrates an der Bundesgesetzgebung.
ExekutivePolitik führen und Gesetze ausführenBundesregierung, Landesregierungen, Behörden und Polizei.
JudikativeRechtsstreitigkeiten entscheiden; Recht anwendenUnabhängige Gerichte; Verfassungsgerichte prüfen verfassungsrechtliche Fragen.

„Gewalt“ meint hier staatliche Entscheidungs- und Durchsetzungsmacht. Die Aufteilung soll verhindern, dass dieselbe Stelle Regeln beliebig setzt, ausführt und sich anschließend selbst Recht gibt.

Wie hängen Bundestag und Regierung zusammen?

Die Wahlberechtigten wählen den Bundestag. Nach Artikel 38 müssen Bundestagswahlen allgemein, unmittelbar, frei, gleich und geheim sein. Der Bundestag wählt den Bundeskanzler oder die Bundeskanzlerin; diese Person wird also nicht unmittelbar von der Bevölkerung gewählt. Parteien bilden häufig eine Koalition, um eine parlamentarische Mehrheit zu erreichen.

Die Regierung benötigt parlamentarische Unterstützung, wird aber zugleich kontrolliert: beispielsweise durch Fragen, Debatten, Ausschüsse und Haushaltsentscheidungen. Die Opposition kritisiert, prüft und bietet Alternativen an. Weil Regierung und Parlamentsmehrheit eng zusammenarbeiten, spricht man auch von Gewaltenverschränkung. Gewaltenteilung bedeutet nicht, dass die Gewalten völlig kontaktlos nebeneinander stehen.

Was machen die Länder und der Bundesrat?

Deutschland ist ein Bundesstaat. Bund und Länder teilen staatliche Aufgaben und Zuständigkeiten. Im Bundesrat wirken Mitglieder der Landesregierungen an Bundesangelegenheiten mit. Der Bundesrat ist kein zweiter Bundestag und wird nicht als Bundesparlament direkt von der Bevölkerung gewählt. Welche Mitwirkungsrechte er bei einem Gesetz hat, hängt von dessen Art ab.

Beispiel: Eine Demonstration wird untersagt

  1. Das zuständige Parlament hat gesetzliche Regeln für Versammlungen beschlossen.
  2. Eine zuständige Behörde wendet diese Regeln auf den Einzelfall an und untersagt eine Versammlung.
  3. Die betroffene Person hält das Verbot für rechtswidrig und kann gerichtlichen Rechtsschutz suchen.
  4. Das Gericht überprüft die Entscheidung anhand des Rechts. Es darf nicht einfach nach Wunsch der Regierung entscheiden.

Das Beispiel zeigt, warum Grundrechte und unabhängige Gerichte neben Wahlen wichtig sind. Die Presse kontrolliert öffentlich durch Recherche und Kritik; sie ist aber keine vierte Staatsgewalt im verfassungsrechtlichen Sinn.

Übungsaufgaben

  1. Ordne zu: Bundestag, Polizei, Verwaltungsgericht.
  2. Warum ist „Demokratie heißt: Die Mehrheit darf alles“ falsch?
  3. Wer wählt die Bundeskanzlerin oder den Bundeskanzler?
  4. Warum ist Regierungskontrolle auch dann nötig, wenn die Regierung gewählt beziehungsweise parlamentarisch legitimiert ist?
Lösungen anzeigen
  1. Bundestag: Legislative. Polizei: Exekutive. Verwaltungsgericht: Judikative.
  2. Auch Mehrheiten sind an Grundrechte und Verfassung gebunden; Minderheitenrechte müssen geschützt sein.
  3. Der Bundestag.
  4. Demokratische Legitimation schließt Machtmissbrauch und Fehler nicht aus. Kontrolle begrenzt Macht und macht Entscheidungen überprüfbar.

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Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

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Geo

Klimawandel: Ursachen, Folgen und Handlungsmöglichkeiten

Lernziel: Du unterscheidest Wetter und Klima, erklärst den verstärkten Treibhauseffekt und ordnest Klimaschutz und Anpassung auseinander. Geeignet ab etwa Klasse 7.

Wetter ist der Moment, Klima das langfristige Muster

„Heute regnet es“ beschreibt Wetter an einem bestimmten Ort und Zeitpunkt. Klima beschreibt typische Wetterverhältnisse und ihre Schwankungen über lange Zeiträume. Häufig werden dafür 30-jährige Zeiträume ausgewertet. Ein kalter Wintertag widerlegt deshalb keine langfristige Erwärmung, ebenso wenig beweist ein einzelner heißer Tag allein den Klimawandel.

Wie der Treibhauseffekt funktioniert

  1. Sonnenstrahlung erreicht die Erde. Ein Teil wird reflektiert, ein Teil erwärmt Land und Wasser.
  2. Die erwärmte Erdoberfläche gibt Energie als langwellige Wärmestrahlung ab.
  3. Treibhausgase wie Kohlendioxid, Methan und Wasserdampf nehmen einen Teil dieser Strahlung auf und geben Strahlung in alle Richtungen ab.
  4. Mehr langlebige Treibhausgase verändern den Energiehaushalt: Zunächst entweicht weniger Energie ins All, als ankommt. Das Klimasystem erwärmt sich.

Der natürliche Treibhauseffekt macht die Erde wärmer und lebensfreundlicher. Problematisch ist seine zusätzliche Verstärkung. Ein Gewächshaus ist nur ein eingeschränkt passender Vergleich: Dort spielt die Behinderung des Luftaustauschs eine wichtige Rolle.

Warum Menschen die heutige Erwärmung verursachen

Die Verbrennung von Kohle, Erdöl und Erdgas setzt zusätzliches CO₂ frei. Auch die Rodung von Wäldern, Landwirtschaft und Industrie verändern die Treibhausgaskonzentrationen. Die beobachtete langfristige Erwärmung lässt sich nicht durch natürliche Einflüsse wie Änderungen der Sonne allein erklären. Messungen und physikalische Modelle zeigen den entscheidenden menschlichen Einfluss.

Wasserdampf verstärkt die Erwärmung als Rückkopplung: Wärmere Luft kann mehr Wasserdampf enthalten. Dass Klima sich früher natürlich verändert hat, erklärt nicht automatisch die Ursache der heutigen schnellen Veränderung.

Welche Folgen entstehen?

  • Hitzeextreme werden in vielen Regionen häufiger oder intensiver.
  • Gletscher und Eisschilde verlieren Masse. Meerwasser dehnt sich bei Erwärmung aus; beides trägt zum Meeresspiegelanstieg bei.
  • Niederschläge verändern sich. Je nach Region und Jahreszeit können Starkregen oder Trockenheit zunehmen.
  • Ökosysteme, Landwirtschaft und Gesundheit geraten unter Druck. Die Folgen sind regional sehr unterschiedlich.

Ob ein bestimmtes Unwetter durch den Klimawandel wahrscheinlicher oder stärker geworden ist, muss gesondert untersucht werden. Die pauschale Aussage „jedes Unwetter ist Klimawandel“ ist zu einfach.

Klimaschutz und Anpassung

AnsatzZielBeispiel
KlimaschutzUrsachen begrenzenFossile Energie durch emissionsarme Energie ersetzen; Energie sparen.
AnpassungMit Folgen besser umgehenSchatten, Hitzeschutz, Rückhalteflächen für Starkregen.

Beispiel Schulhof: Bäume und entsiegelte Flächen helfen gegen Hitze und verbessern das Versickern von Wasser. Eine sparsame Heizung mit emissionsarmer Energieversorgung vermindert Treibhausgasemissionen. Beide Maßnahmen ergänzen sich.

Übungsaufgaben

  1. Ordne zu: „Morgen 12 °C“ und „Die mittlere Temperatur mehrerer Jahrzehnte steigt“.
  2. Erkläre die Kette von der Kohleverbrennung bis zur Erwärmung in drei Schritten.
  3. Ein Ort baut höhere Deiche. Ist das Klimaschutz oder Anpassung?
  4. Warum kann ein kalter Wintertag mit einer langfristigen Erwärmung vereinbar sein?
Lösungen anzeigen
  1. Die erste Aussage beschreibt Wetter, die zweite Klima.
  2. Verbrennung setzt CO₂ frei; mehr CO₂ verändert den Strahlungshaushalt; das Klimasystem erwärmt sich.
  3. Anpassung: Der Ort schützt sich vor Folgen. Dadurch allein sinken die Emissionen nicht.
  4. Wetter schwankt weiterhin. Eine langfristige Verschiebung der Verteilung schließt kalte Tage nicht aus.

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Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

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Rechnen

Exponential- und Logarithmusfunktion

Lernziel: Du erkennst exponentielle Veränderungen und berechnest mit dem Logarithmus eine unbekannte Zeit. Voraussetzung: Potenzgesetze.

Gleicher Faktor statt gleicher Zuwachs

Bei linearem Wachstum kommt in gleichen Zeitabständen derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird in gleichen Zeitabständen mit demselben Faktor multipliziert. B ist der Anfangsbestand, T die Länge eines Zeitintervalls und a der Faktor je Intervall.

    \[G(t)=B\cdot a^{t/T},\qquad B>0,\quad T>0,\quad a>0\]

  • a > 1: Wachstum, etwa a = 1,05 für 5 % Zuwachs je Intervall.
  • 0 < a < 1: Abnahme, etwa a = 0,8 für 20 % Rückgang je Intervall.
  • a = 1: Der Bestand bleibt konstant.
  • t und T müssen in derselben Zeiteinheit eingesetzt werden.

Beispiel 1: Einen Bestand berechnen

Eine Modellpopulation startet mit 2 Einheiten und verdreifacht sich alle 6 Tage. Dann gilt B = 2, a = 3 und T = 6 Tage. Für t in Tagen rechnen wir:

    \[G(30)=2\cdot3^{30/6}=2\cdot3^5=486\]

Nach 30 Tagen sind es 486 Einheiten. Das Ergebnis ist ein Bestand, keine Zeitangabe.

Beispiel 2: Eine Zeit berechnen

Nach wie vielen Tagen ist der Bestand 162? Zuerst isolierst du die Potenz: 162 = 2 · 3t/6, also 81 = 3t/6. Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich 3 potenzieren, um 81 zu erhalten?“

    \[\log_3(81)=\frac{t}{6},\qquad 4=\frac{t}{6},\qquad t=24\]

Viele Taschenrechner besitzen nur ln oder log zur Basis 10. Die Basisumrechnung hilft: loga(x) = ln(x)/ln(a). Logarithmen reeller Zahlen sind nur für x > 0 definiert; die Basis muss a > 0 und a ≠ 1 erfüllen.

Allgemeines Rezept und Umkehrfunktion

    \[t=T\cdot\frac{\ln(G/B)}{\ln(a)}\qquad(G>0,\ a\ne1)\]

Die Funktionen ax und loga(x) sind Umkehrfunktionen. Ihre Graphen sind an y = x gespiegelt. Die Wurzelfunktion ist dagegen nur die Umkehrfunktion der auf x ≥ 0 eingeschränkten Quadratfunktion. Für beliebige reelle x gilt √(x²) = |x|.

Die Graphen von Exponentialfunktion und Logarithmus

Graph einer Exponentialfunktion
Graph einer Logarithmusfunktion

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

    \[G(t)=G(0)\left(\frac12\right)^{t/H}\]

H bezeichnet die Halbwertszeit: Nach H bleibt die Hälfte, nach 2H ein Viertel und nach 3H ein Achtel. Beispiel: Ein Modellbestand von 80 g mit H = 10 Tagen sinkt nach 30 Tagen auf 10 g. Bei Wachstum ist die Verdopplungszeit D = T · ln(2)/ln(a). Solche Modelle setzen einen konstanten Faktor voraus; reale biologische oder wirtschaftliche Entwicklungen erfüllen das nicht unbegrenzt.

Übungsaufgaben

  1. 200 Bakterien verdoppeln sich modellhaft jede Stunde. Wie viele sind es nach 4 Stunden?
  2. Ein Bestand von 500 g hat eine Halbwertszeit von 3 Tagen. Wie viel bleibt nach 6 Tagen?
  3. Ein Bestand startet bei 5 und verdoppelt sich alle 2 Tage. Wann erreicht er 40?
  4. Welcher Faktor gehört zu einem Rückgang um 12 % pro Jahr?
Lösungen anzeigen
  1. 200 · 24 = 3 200.
  2. 500 · (1/2)2 = 125 g.
  3. 40/5 = 8 = 23: drei Intervalle à zwei Tage, also 6 Tage.
  4. a = 1 − 0,12 = 0,88.

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