Autor: admin

Bundesweite Feiertage

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 16, 2021

Lernziel: Du kennst die Feiertage, die in allen Bundesländern gelten, und unterscheidest religiöse Bedeutung, Brauchtum und gesetzliche Regelungen.

In allen 16 Bundesländern gelten neun gesetzliche Feiertage. Weitere Feiertage hängen vom Bundesland, teilweise auch vom Ort ab. Weihnachten zählt dabei als zwei einzelne Feiertage.

Feiertag	Datum
Neujahr	1. Januar
Karfreitag	Freitag vor Ostersonntag
Ostermontag	Montag nach Ostersonntag
Tag der Arbeit	1. Mai
Christi Himmelfahrt	39 Tage nach Ostersonntag
Pfingstmontag	50 Tage nach Ostersonntag
Tag der Deutschen Einheit	3. Oktober
Erster Weihnachtstag	25. Dezember
Zweiter Weihnachtstag	26. Dezember

Neujahr und unser Kalender

Im heute international verbreiteten gregorianischen Kalender beginnt das Jahr am 1. Januar. Papst Gregor XIII. führte diesen Kalender 1582 als Reform des julianischen Kalenders ein; Länder übernahmen ihn zu unterschiedlichen Zeiten. Andere Kulturen und Religionen kennen zusätzliche Kalender und Neujahrsfeste.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gregorianischer_Kalender#/media/Datei:Ewiger_Kalender_gregorianisch.png

Ein normales Kalenderjahr hat 365 Tage. Eine Jahreszahl, die durch 4 teilbar ist, bezeichnet grundsätzlich ein Schaltjahr. Ausnahme: volle Jahrhundertjahre sind nur dann Schaltjahre, wenn sie auch durch 400 teilbar sind. Daher war 2000 ein Schaltjahr, 1900 dagegen nicht. Der zusätzliche Tag ist der 29. Februar.

In 400 Jahren gibt es 97 Schaltjahre. Die mittlere Jahreslänge beträgt deshalb 365 + 97/400 = 365,2425 Tage. Damit nähert der Kalender die Länge des tropischen Jahres an.

Karfreitag und Ostern

An Karfreitag erinnern Christinnen und Christen an das Leiden und den Tod Jesu am Kreuz. An Ostern feiern sie seine Auferstehung. Ostern ist das zentrale Fest des christlichen Glaubens. Die österliche Festzeit reicht bis Pfingsten.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Karfreitag

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Ostern

Die kirchlichen „drei österlichen Tage“ reichen vom Abend des Gründonnerstags bis zum Ostersonntag, nicht bis zum Ostermontag. Der Ostermontag ist jedoch in allen Bundesländern ein gesetzlicher Feiertag. Ostereier und Osterhasen gehören zu verbreiteten Bräuchen; Brauchtum und religiöse Bedeutung sind nicht dasselbe.

1. Mai: Tag der Arbeit

Der 1. Mai steht in der Tradition der internationalen Arbeiterbewegung und ihrer Forderung nach besseren Arbeitsbedingungen, insbesondere dem Achtstundentag. Internationale Maidemonstrationen wurden ab 1890 organisiert. In Deutschland war der Tag 1919 einmalig gesetzlicher Feiertag.

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Erster_Mai#/media/Datei:Df_roe-neg_0002110_001-004_Demonstranten_auf_dem_Augustusplatz_Fotothek.jpg

Die Nationalsozialisten erklärten den 1. Mai 1933 zum „Tag der nationalen Arbeit“; am folgenden Tag zerschlugen sie die freien Gewerkschaften. Heute steht der Tag der Arbeit für Arbeitnehmerrechte und soziale Fragen.

Christi Himmelfahrt und Pfingsten

An Christi Himmelfahrt feiern Christinnen und Christen die Rückkehr Jesu zu Gott. Das Fest liegt 39 Tage nach Ostersonntag, also am 40. Tag, wenn Ostersonntag mitgezählt wird. Es fällt stets auf einen Donnerstag. In Deutschland wird an diesem Tag auch Vatertag gefeiert.

Darstellung der Himmelfahrt aus der Zeit 400
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Christi_Himmelfahrt

Pfingsten erinnert an die Sendung des Heiligen Geistes und wird häufig als Geburtstag der Kirche bezeichnet. Pfingstsonntag liegt sieben Wochen beziehungsweise 49 Tage nach Ostersonntag. Pfingstmontag folgt einen Tag später und ist bundesweit gesetzlicher Feiertag.

Ausgießung des heiligen Geistes im Rabbula-Evaneliar, einer syrischen Pergament-Handschrift der Evangelien aus dem Jahr 586
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Pfingsten

3. Oktober: Tag der Deutschen Einheit

1949 entstanden die Bundesrepublik und die DDR. Ab dem 13. August 1961 errichtete die DDR die Berliner Mauer. Sie trennte Ost- und West-Berlin und umschloss West-Berlin gegenüber dem umliegenden DDR-Gebiet.

Bildquelle: https://www.br.de/kinder/tag-der-deutschen-einheit-ein-besonderer-feiertag-fuer-deutschland-kinder-lexikon-100.html Quelle:https://de.wikipedia.org/wiki/Tag_der_Deutschen_Einheit

Der Mauerfall am 9. November 1989 war ein entscheidender Schritt der friedlichen Revolution. Die staatliche Wiedervereinigung folgte am 3. Oktober 1990. An sie erinnert der Tag der Deutschen Einheit.

Weihnachten

An Weihnachten feiern Christinnen und Christen die Geburt Jesu. Der 25. und 26. Dezember sind in Deutschland gesetzliche Feiertage. Heiligabend am 24. Dezember ist dagegen kein allgemeiner gesetzlicher Feiertag; dasselbe gilt für Silvester am 31. Dezember.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Weihnachten

Weihnachtsbaum, gemeinsames Essen und Geschenke gehören zu verbreiteten Bräuchen. Zeitpunkt und Form der Bescherung unterscheiden sich nach Land und Familientradition. Für manche Menschen steht der Gottesdienst im Mittelpunkt, für andere das Familienfest.

Übungsaufgaben

Warum zählt Weihnachten in der Übersicht als zwei Feiertage?
Ist Heiligabend ein allgemeiner gesetzlicher Feiertag?
Ist 2100 ein Schaltjahr?
Warum liegen Himmelfahrt und Pfingsten nicht jedes Jahr auf demselben Kalenderdatum?

Lösungen anzeigen

Der 25. und der 26. Dezember sind jeweils gesetzliche Feiertage.
Nein. Die allgemeinen gesetzlichen Weihnachtsfeiertage sind der 25. und 26. Dezember.
Nein: 2100 ist durch 100, aber nicht durch 400 teilbar.
Ihre Daten hängen vom beweglichen Ostertermin ab.

Quellen und weiterführende Informationen

Deutsche Bundesbank: Bundesweite und regionale Feiertage

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Geo

Gebirge

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 15, 2021

Lernziel: Du lernst wichtige Gebirge kennen und unterscheidest Plattenkollision, Subduktion und Abtragung. Die Alpen sind ein großes europäisches Hochgebirge; ein Teil liegt im Süden Deutschlands.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Alpen

Der Mont Blanc ist mit rund 4 800 m der höchste Berg der Alpen. Die Höhe seiner Schnee- und Eiskappe verändert sich. Ob er als höchster Berg Europas gilt, hängt von der Abgrenzung Europas ab: Wird der Elbrus im Kaukasus zu Europa gezählt, ist dieser mit 5 642 m höher. Deutschlands höchster Berg ist die Zugspitze mit 2 962 m an der Grenze zu Österreich.

Der Kaukasus ist ein Hochgebirge, das an der Grenze zwischen Europa und Asien zwischen Schwarzem und Kaspischen Meer liegt.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kaukasus

Der Elbrus ist mit 5642 m der höchste Berg des Kaukasus und Russlands.

Der Ural erstreckt sich in Nord-Süd-Richtung durch Russland und wird gewöhnlich als ein Abschnitt der Grenze zwischen Europa und Asien verwendet.

Bildquelle: https://www.nagra-blog.ch/2017/05/30/der-ural/

Die Alpen sind Deutschlands einziges Hochgebirge. Daneben gibt es viele Mittelgebirge. Die folgende Auswahl ist keine vollständige Rangliste. Bei grenzüberschreitenden Gebirgen kann der höchste Gipfel außerhalb Deutschlands liegen.

Schwarzwald, höchste Erhebung: Feldberg (1493 m)
Bayerischer Wald, höchste Erhebung: Großer Arber (1456 m)
Erzgebirge, höchste Erhebung: Keilberg (Klínovec / 1244 m)
Harz, höchste Erhebung: Brocken (1141 m)
Fichtelgebirge, höchste Erhebung: Schneeberg (1053 m)
Oberpfälzer Wald, höchste Erhebung: Čerchov (Schwarzkopf, 1 042 m, in Tschechien)
Schwäbische Alb, höchste Erhebung: Lemberg (1015 m)
Thüringer Wald, höchste Erhebung: Großer Beerberg (983 m)
Rhön, höchste Erhebung: Wasserkuppe (950 m)
Taunus, höchste Erhebung: Großer Feldberg (881 m)

Vielleicht findet ihr diese ja auf der physischen Karte Deutschlands wieder:

Bildquelle: https://diercke.westermann.de/content/deutschland-physische-karte-978-3-14-100800-5-19-2-1

Das höchste Gebirge der Welt ist der Himalaya. Es liegt zwischen dem indischen Subkontinent im Süden und dem Tibetischen Hochland im Norden.

Bildquelle: https://www.himalaya-info.org/Gesamtuebersicht.htm

Die äußere feste Hülle der Erde, die Lithosphäre, besteht aus Platten. Sie umfasst die Erdkruste und den obersten festen Teil des Erdmantels. Diese Platten bewegen sich langsam gegeneinander. Zusammenstöße, das Abtauchen einer Platte und Hebungen können Gebirge entstehen lassen. Gleichzeitig tragen Wasser, Eis und Wind Gestein ab.

Der Himalaya entstand durch die Kollision der Indischen mit der Eurasischen Platte. Die indische Landmasse war zuvor Teil des Großkontinents Gondwana.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gondwana

Nach dem Zerbrechen Gondwanas wanderte Indien über viele Millionen Jahre nach Norden. Dazwischen lag der Tethys-Ozean. Die Kollision mit Eurasien begann vor ungefähr 50 Millionen Jahren; die Bewegungen dauern an. Gesteine wurden gefaltet, übereinandergeschoben und angehoben.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Himalaya

Der Mount Everest im Himalaya ist mit rund 8 849 m der höchste Berg über dem Meeresspiegel. Die 14 üblicherweise gezählten Achttausender liegen im Himalaya und im Karakorum, nicht alle im Himalaya.

Die Anden sind das längste kontinentale Gebirge der Erde und erstrecken sich über etwa 7 000 km entlang der Westseite Südamerikas. Das weltweite System mittelozeanischer Rücken ist noch deutlich länger, liegt aber größtenteils unter Wasser.

Bildquelle: https://diercke.westermann.de/content/s%C3%BCdamerika-physische-karte-978-3-14-100870-8-228-1-1

Der höchste Berg der Anden und überhaupt der höchste Berg außerhalb Asiens ist mit 6961 m der Aconcagua in Argentinien.

An der Westküste Südamerikas taucht heute die ozeanische Nazca-Platte unter die Südamerikanische Platte ab. Diesen Vorgang nennt man Subduktion. Er trägt zu Gebirgsbildung, Vulkanismus und Erdbeben bei. Die Anden haben eine lange, mehrphasige Entstehungsgeschichte; die heutige Nazca-Platte existierte nicht schon während dieser gesamten Zeit.

Quelle: https://www2.klett.de/sixcms/list.php?page=infothek_artikel&extra=TERRA-Online%20/%20Gymnasium&artikel_id=108240&inhalt=klett71prod_1.c.214585.de

Die Rocky Mountains verlaufen im Westen Nordamerikas. Eine wichtige Phase ihrer Entstehung fand vor ungefähr 80 bis 40 Millionen Jahren statt. Dabei spielte die unter Nordamerika abtauchende Farallon-Platte eine wichtige Rolle. Sie darf nicht einfach mit der heutigen Pazifischen Platte gleichgesetzt werden.

Quelle: https://diercke.westermann.de/content/usa-kanada-physische-karte-978-3-14-100800-5-212-1-1

Mit 4401 m ist Mount Elbert der höchste Berg der Rockies. Der höchste Berg Nordamerikas ist allerdings der Denali in Alaska mit 6190 m Höhe.

Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Denali

Drei Begriffe zum Merken

Kollision: Zwei Kontinentalplatten stoßen zusammen, etwa im Himalaya.
Subduktion: Eine Platte taucht unter eine andere, etwa an den Anden.
Erosion: Wasser, Eis und Wind tragen Gestein ab und formen das Gebirge.

Übungsaufgaben

Warum ist „Mont Blanc ist der höchste Berg Europas“ ohne Zusatz ungenau?
Liegen alle 14 Achttausender im Himalaya?
Welche Platten sind an der heutigen Subduktionszone der Anden beteiligt?

Lösungen anzeigen

Weil bei einer Grenzziehung, die den Elbrus Europa zuordnet, dieser höher ist. Der Mont Blanc ist sicher der höchste Berg der Alpen.
Nein. Sie verteilen sich auf Himalaya und Karakorum.
Die Nazca-Platte taucht unter die Südamerikanische Platte.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Rechnen

Brutto und Netto: mit Prozenten rechnen

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 7, 2021

Lernziel: Du berechnest aus einem Nettopreis den Bruttopreis und aus einem Bruttopreis den enthaltenen Steuerbetrag. Es geht hier um Preise mit Umsatzsteuer, nicht um die Berechnung eines Nettogehalts.

Welcher Betrag ist die Grundlage?

Der Nettopreis N ist der Preis ohne Umsatzsteuer. Der Steuerbetrag S wird auf diesen Nettopreis aufgeschlagen. Der Bruttopreis B ist der Gesamtbetrag. Schreibe den Steuersatz als Dezimalzahl r: 19 % = 0,19.

Steuerbetrag: S = N · r
Bruttopreis: B = N · (1 + r)
Nettopreis: N = B / (1 + r)
Enthaltene Steuer: S = B − N = B · r / (1 + r)

Beispiel: Von Netto zu Brutto

Ein Artikel kostet netto 100 €. In diesem Beispiel gilt ein Steuersatz von 19 %. Die Steuer beträgt 100 € · 0,19 = 19 €. Der Bruttopreis ist 100 € · 1,19 = 119 €.

Beispiel: Von Brutto zu Netto

Auf einer Rechnung stehen 238 € brutto bei 19 % Umsatzsteuer. Du teilst durch 1,19: N = 238 € / 1,19 = 200 €. Die enthaltene Steuer beträgt 238 € − 200 € = 38 €.

Typischer Fehler: Von einem Bruttopreis einfach 19 % abzuziehen ist falsch. Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis. Bei 119 € brutto sind 19 € Steuer enthalten, nicht 22,61 €.

Rechenmodell und Wirklichkeit

In Deutschland beträgt der allgemeine Umsatzsteuersatz 19 %. Für gesetzlich bestimmte Umsätze gelten beispielsweise 7 %, 0 % oder Steuerbefreiungen. Welcher Fall vorliegt, ergibt sich aus den gesetzlichen Regeln; nicht jede gewerbliche Leistung wird gleich besteuert. Die Kleinunternehmerregelung hat eigene Voraussetzungen. Deshalb leiten wir aus diesem Rechenbeispiel keine pauschale Umsatzgrenze ab.

Der Nettoumsatz ist außerdem nicht der Gewinn: Vom Umsatz sind noch betriebliche Kosten abzuziehen. Ein vorsteuerabzugsberechtigtes Unternehmen verrechnet vereinnahmte Umsatzsteuer grundsätzlich mit abziehbarer Vorsteuer. Für die Preisrechnung hier genügt die Trennung von Netto, Steuer und Brutto.

Übungsaufgaben

Ein Nettopreis beträgt 50 €. Berechne Brutto und Steuer bei 19 %.
Ein Bruttopreis beträgt 107 €. Berechne Netto und Steuer bei einem vorgegebenen Satz von 7 %.
Warum ist 119 € · 0,81 kein korrekter Weg zum Nettopreis bei 19 %?

Lösungen anzeigen

Steuer: 9,50 €. Brutto: 59,50 €.
Netto: 107 € / 1,07 = 100 €. Steuer: 7 €.
0,81 zieht 19 % vom falschen Grundwert ab. Richtig ist 119 € / 1,19 = 100 €.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Rechnen

Potenzfunktionen, Geraden und Parabeln

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Januar 7, 2021
1 Kommentar zu Potenzfunktionen, Geraden und Parabeln

Lernziel: Du erkennst Potenzfunktionen und kannst an Geraden und Parabeln Achsenabschnitte, Nullstellen und Scheitelpunkte bestimmen.

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine reine Potenzfunktion hat die Form f(x) = xⁿ. Ein Vorfaktor a führt zu f(x) = a · xⁿ. Wir betrachten hier ganzzahlige Exponenten. Summen mehrerer Potenzterme heißen bei nichtnegativen ganzzahligen Exponenten Polynome. Eine Gerade mx + b oder eine Parabel ax² + bx + c ist daher nicht immer eine reine Potenzfunktion.

Funktion	Eigenschaft
x², x⁴, …	Gerader positiver Exponent: achsensymmetrisch zur y-Achse.
x, x³, …	Ungerader positiver Exponent: punktsymmetrisch zum Ursprung.
x⁻¹ = 1/x	x = 0 ist ausgeschlossen; punktsymmetrisch zum Ursprung.
x⁻² = 1/x²	x = 0 ist ausgeschlossen; achsensymmetrisch zur y-Achse.

Lineare Funktion: die Gerade

$f(x)=mx+b$

m ist die Steigung: Erhöht sich x um 1, ändert sich f(x) um m. b ist der y-Achsenabschnitt, denn f(0) = b. Bei f(x) = 2x + 3 ist die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 3.

Für eine Nullstelle setzt du f(x) = 0 und löst nach x auf: 0 = 2x + 3, also x = −3/2. Allgemein gilt x₀ = −b/m, sofern m ≠ 0. Bei m = 0 ist die Funktion konstant und hat entweder keine Nullstelle (b ≠ 0) oder jede reelle Zahl als Nullstelle (b = 0).

Quadratische Funktion: die Parabel

$f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0$

Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten. Beispiel: f(x) = 2x² − 12x + 16. Der y-Achsenabschnitt ist c = 16.

Nullstellen Schritt für Schritt

Gleich null setzen: 2x² − 12x + 16 = 0.
Durch 2 teilen: x² − 6x + 8 = 0.
Mit p = −6 und q = 8 die pq-Formel anwenden.

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Es folgt x = 3 ± √(9 − 8), also x₁ = 2 und x₂ = 4. Ein positiver Ausdruck unter der Wurzel ergibt zwei verschiedene reelle Nullstellen, null ergibt eine doppelte Nullstelle und ein negativer Ausdruck ergibt keine reelle Nullstelle.

Scheitelpunkt und Darstellungsformen

$x_S=-\frac{b}{2a},\qquad y_S=f(x_S)$

Diese Scheitelpunktformel funktioniert auch ohne reelle Nullstellen. Im Beispiel ist x_S = 12/4 = 3 und f(3) = −2. Also S(3 | −2). Falls zwei reelle Nullstellen vorliegen, liegt x_S auch genau in ihrer Mitte.

$f(x)=2(x-3)^2-2=2(x-2)(x-4)$

An der Scheitelpunktform liest du S(3 | −2) ab. An der Produktform erkennst du die Nullstellen 2 und 4. Den Vorfaktor 2 darfst du dabei nicht vergessen.

Übungsaufgaben

Bestimme Nullstelle und y-Achsenabschnitt von f(x) = −2x + 6.
Bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt von g(x) = x² − 4x + 3.
Wie viele reelle Nullstellen besitzt h(x) = x² + 1? Wo liegt der Scheitelpunkt?
Welche Definitionslücke hat f(x) = x⁻³?

Lösungen anzeigen

Nullstelle x = 3; y-Achsenabschnitt 6.
g(x) = (x − 1)(x − 3); Nullstellen 1 und 3. S(2 | −1).
Keine reelle Nullstelle, weil x² + 1 immer positiv ist. S(0 | 1).
x = 0 ist ausgeschlossen, weil x⁻³ = 1/x³.

Weiterlernen

Geschichte

Deutschland

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020

Lernziel: Du kannst zentrale Etappen deutscher Geschichte einordnen und Staat, Nation, Monarchie, Republik und Demokratie unterscheiden. Die heutige Bundesrepublik ist das Ergebnis einer langen, nicht geradlinigen Entwicklung.

Vor 1800: kein einheitlicher Nationalstaat

Große Teile des deutschsprachigen Raums gehörten zum Heiligen Römischen Reich, einem Verband vieler Territorien. Dazu zählten Fürstentümer, kirchliche Herrschaften und freie Städte. Österreich und Preußen waren bedeutende Mächte. Eine gemeinsame Sprache bedeutete noch keine gemeinsame staatliche Ordnung.

1789–1815: Revolution und Napoleon

1789 begann die Französische Revolution. Sie richtete sich gegen die ständische Ordnung und die Vorrechte von Adel und Klerus. Die Erklärung der Menschen- und Bürgerrechte formulierte Freiheits- und Gleichheitsrechte, die damals jedoch nicht für alle Menschen gleichermaßen verwirklicht wurden. 1792 wurde die Monarchie abgeschafft; 1793 wurde Ludwig XVI. hingerichtet. Während der Terrorherrschaft wurden Menschen verschiedener Gruppen verfolgt. Der Adel wurde nicht „weitgehend getötet“.

Napoleon gelangte 1799 an die Macht und krönte sich 1804 zum Kaiser. Seine autoritäre Herrschaft verband militärische Expansion mit Reformen wie dem Code civil. Er beherrschte oder beeinflusste große Teile Europas, nicht ganz Europa. 1806 entstand der Rheinbund unter seinem Einfluss; zugleich endete das Heilige Römische Reich.

Nach dem gescheiterten Russlandfeldzug 1812 folgten die Niederlage in der Völkerschlacht bei Leipzig 1813 und die Abdankung 1814. Nach seiner Rückkehr wurde Napoleon 1815 bei Waterloo endgültig besiegt. Der Wiener Kongress 1814/15 ordnete Europa neu; der Deutsche Bund entstand. Die Restauration stärkte monarchische Herrschaft, während Forderungen nach Freiheit und nationaler Einheit fortbestanden.

1848/49 und 1871: zwei Wege zur Einheit

In der Revolution von 1848/49 forderten Menschen Grundrechte, politische Mitbestimmung und einen deutschen Nationalstaat. Die Frankfurter Nationalversammlung beschloss im März 1849 die Paulskirchenverfassung. Sie setzte sich nicht dauerhaft durch: Der preußische König lehnte die Kaiserkrone ab, revolutionäre Bewegungen wurden militärisch niedergeschlagen.

Unter Bismarck wurde die Einigung später unter preußischer Führung und ohne Österreich vorangetrieben. Während des Deutsch-Französischen Krieges 1870/71 entstand das Deutsche Reich. Am 18. Januar 1871 wurde Wilhelm I. im Spiegelsaal von Versailles bei Paris zum Deutschen Kaiser ausgerufen. Das Kaiserreich hatte einen gewählten Reichstag, war aber lange keine parlamentarische Demokratie: Die Regierung war vom Kaiser und nicht vom Vertrauen des Reichstags abhängig.

1914–1933: Weltkrieg und Weimarer Republik

Der Erste Weltkrieg dauerte von 1914 bis 1918. Deutschland und Österreich-Ungarn gehörten zu den Mittelmächten, die den Krieg verloren. In der Novemberrevolution 1918 endete die deutsche Monarchie; die Republik wurde ausgerufen. Die Weimarer Republik brachte parlamentarische Demokratie und das Frauenwahlrecht. Sie war durch Kriegsfolgen, politische Gewalt, antidemokratische Kräfte und Wirtschaftskrisen belastet.

1933–1945: Diktatur, Verfolgung und Krieg

Am 30. Januar 1933 ernannte Reichspräsident Hindenburg Hitler zum Reichskanzler. Die Nationalsozialisten zerstörten anschließend mit Terror und der Ausschaltung von Grundrechten, Parlament und Opposition die Demokratie. Sie verfolgten zahlreiche Bevölkerungsgruppen und ermordeten im Holocaust etwa sechs Millionen europäische Jüdinnen und Juden.

Mit dem deutschen Überfall auf Polen am 1. September 1939 begann der Zweite Weltkrieg in Europa. Dort endete er mit der deutschen Kapitulation am 8. Mai 1945; weltweit erst nach Japans Kapitulation im September 1945.

Seit 1949: Teilung und Wiedervereinigung

Nach dem Krieg wurde Deutschland in vier Besatzungszonen aufgeteilt. 1949 entstanden die Bundesrepublik im Westen und die DDR in der sowjetischen Besatzungszone. Berlin hatte einen besonderen Viermächte-Status. Die Bundesrepublik entwickelte sich als parlamentarische Demokratie; ihr erster Bundeskanzler war Konrad Adenauer. Die DDR war eine SED-Diktatur.

Die friedliche Revolution in der DDR und der Mauerfall am 9. November 1989 eröffneten den Weg zur staatlichen Einheit. Am 3. Oktober 1990 traten die auf dem Gebiet der DDR gebildeten Länder der Bundesrepublik bei; Berlin wurde vereinigt. Mauerfall und Wiedervereinigung sind also verschiedene Ereignisse.

Begriffe zum Einordnen

Nation: eine historisch entstandene Vorstellung von Zusammengehörigkeit. Sie ist nicht automatisch mit einem Staat identisch.
Staat: eine politische Ordnung mit Staatsgebiet, Bevölkerung und Staatsgewalt.
Republik: Das Staatsoberhaupt erhält seine Stellung nicht durch eine erbliche Monarchie. Eine Republik kann trotzdem eine Diktatur sein.
Demokratie: Herrschaft wird durch die Bevölkerung legitimiert; freie Wahlen, Grundrechte und Machtkontrolle sind entscheidend.

Übungsaufgaben

Ordne zeitlich: Reichsgründung, Wiedervereinigung, Paulskirchenverfassung, Gründung der Bundesrepublik.
Warum genügt ein gewähltes Parlament allein nicht für eine parlamentarische Demokratie?
Welches Ereignis gehört zum 9. November 1989, welches zum 3. Oktober 1990?

Lösungen anzeigen

1849 Paulskirchenverfassung; 1871 Reichsgründung; 1949 Bundesrepublik; 1990 Wiedervereinigung.
Es kommt auch darauf an, ob die Regierung vom Vertrauen des Parlaments abhängig ist und ob freie Wahlen, Grundrechte und wirksame Machtkontrolle bestehen.
9. November 1989: Mauerfall. 3. Oktober 1990: staatliche Wiedervereinigung.

Quellen und weiterführende Informationen

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Geo

Die Meere

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020

Lernziel: Du kannst die fünf großen Ozeanbecken zuordnen und wichtige europäische Meere finden. Rund 71 % der Erdoberfläche sind von Ozeanen bedeckt. Das Wasser bildet ein zusammenhängendes Weltmeer, das geografisch in Ozeane unterteilt wird. Zwischen Europa/Afrika und Amerika liegt der Atlantik. Westlich von Amerika und östlich von Asien/Australien liegt der Pazifik. Der Indische Ozean liegt zwischen Afrika, Asien und Australien. Der Arktische Ozean umgibt den Nordpol; der Südliche Ozean oder das Südpolarmeer umgibt Antarktika.

Bildquellen: Wikipedia

Europa grenzt im Westen an den Atlantik und im Süden an das Mittelmeer. Im Norden liegen unter anderem das Europäische Nordmeer und arktische Meeresgebiete. Deutschland hat Küsten an Nordsee und Ostsee. Die Adria ist ein Teil des Mittelmeers östlich von Italien. Der Bosporus verbindet das Schwarze Meer mit dem Marmarameer. Über die Dardanellen geht es von dort in die Ägäis und damit ins Mittelmeer. Das Kaspische Meer ist ein abflussloses Binnengewässer und besitzt keine natürliche Verbindung über den Bosporus zum Mittelmeer.

Bildquelle: Wikepedia

Meer, Ozean und Meerenge

Ein Ozean ist eines der großen Becken des zusammenhängenden Weltmeers. Nordsee, Ostsee und Mittelmeer sind kleinere Meeresräume. Eine Meerenge ist eine schmale Wasserverbindung zwischen größeren Gewässern, etwa der Bosporus.

Übungsaufgaben

Welcher Ozean liegt zwischen Afrika und Südamerika?
Welche Gewässer verbindet der Bosporus unmittelbar?
Nenne Deutschlands zwei Küstenmeere.

Lösungen anzeigen

Der Atlantik.
Schwarzes Meer und Marmarameer.
Nordsee und Ostsee.

Quellen und weiterführende Informationen

NOAA: Wie viele Ozeane gibt es?

Inhalt geprüft und überarbeitet am 8. Oktober 2026.

Geo

Die Kontinente

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020

Lernziel: Du kannst die Kontinente benennen, auf einer Weltkarte finden und unterschiedliche Zählweisen erklären.

Ein Kontinent ist ein sehr großer zusammenhängender Landraum. Seine Abgrenzung ist teilweise geografisch, teilweise historisch und kulturell geprägt. Darum gibt es mehrere gebräuchliche Modelle.

Häufig unterscheidet man sieben Kontinente: Europa, Asien, Afrika, Nordamerika, Südamerika, Australien und Antarktika. Im Sechs-Kontinente-Modell werden beispielsweise Nord- und Südamerika zu Amerika zusammengefasst; dieses Modell zeigen die Karten unten. Europa und Asien bilden eine zusammenhängende Landmasse, Eurasien. Ihre Trennung folgt einer vereinbarten Grenzziehung, unter anderem am Ural. Australien bezeichnet sowohl einen Staat als auch einen Kontinent; „Ozeanien“ meint einen umfassenderen geografischen Raum mit zahlreichen Inseln im Pazifik. Antarktika ist der Kontinent am Südpol, während Antarktis auch die umgebende südliche Polarregion bezeichnen kann. Die Arktis am Nordpol ist eine Region mit einem Ozean in der Mitte und kein eigener Kontinent.

Länder und Kontinente sind verschiedene Einteilungen.

Russland und die Türkei sind zwei Beispiele für Staaten mit Gebieten in Europa und Asien. Je nach Grenzziehung werden auch weitere Staaten beiden Kontinenten zugerechnet.

Zum einen ist dies Russland, das bis zum Uralgebirge zu Europa und östlich davon zu Asien gehört .
Und in der Türkei trennt der Bosporus, die Meerenge zwischen Schwazen Meer und Marmarameer, Europa von Asien.

Bildquelle: Wikipedia

So orientierst du dich auf einer Weltkarte

Suche zuerst Äquator, Nordpol und Südpol. Norden liegt auf vielen Karten oben, aber eine Kartenorientierung ist eine Darstellungsentscheidung.
Zwischen Europa/Afrika und Amerika liegt der Atlantik. Zwischen Amerika und Asien/Australien liegt der Pazifik.
Der Äquator durchquert unter anderem Südamerika und Afrika. Antarktika umgibt den Südpol.

Übungsaufgaben

Nenne die sieben Kontinente des hier verwendeten Modells.
Warum können Karten sechs statt sieben Kontinente nennen?
Was unterscheidet die Arktis von Antarktika?

Lösungen anzeigen

Europa, Asien, Afrika, Nordamerika, Südamerika, Australien, Antarktika.
Zum Beispiel werden Nord- und Südamerika zu Amerika zusammengefasst. Es handelt sich um eine andere Konvention.
Die Arktis ist die nördliche Polarregion mit dem Arktischen Ozean; Antarktika ist eine Landmasse am Südpol.

Rechnen

Termumformung

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020
2 Kommentare zu Termumformung

Lernziel: Du kannst Terme ordnen, ausmultiplizieren und faktorisieren. Du unterscheidest einen Term von einer Gleichung.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein Rechenausdruck, zum Beispiel 3x + 2. Er enthält noch keine Behauptung, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Eine Gleichung wie 3x + 2 = 11 setzt zwei Terme gleich. Bei einer Termumformung bleibt der Wert des Ausdrucks für alle erlaubten Werte der Variablen erhalten.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Du darfst nur Terme mit demselben Variablenteil zusammenfassen: 3x + 5x = 8x, aber 3x + 5x² bleibt so stehen. Beim Umordnen gehört ein Minus zum folgenden Summanden: a − b = a + (−b).

Klammern auflösen und ausklammern

$a(b+c)=ab+ac,\qquad ab+ac=a(b+c)$

Beispiel: 3(2x − 4) = 6x − 12. Rückwärts: 6x − 12 = 6(x − 2). Bei −(x − 4) wechseln beide Vorzeichen: −x + 4. Prüfe beim Ausklammern jeden Summanden durch Division durch den ausgeklammerten Faktor.

$2x^3y+4x^2y+2xy=2xy(x^2+2x+1)$

Binomische Formeln

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Beispiel: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Der mittlere Term entsteht, weil beim Ausmultiplizieren zweimal 3x vorkommt. Rückwärts erkennst du x² − 10x + 25 = (x − 5)².

Bruchterme und Definitionsbereich

Beim Term (x² − 1)/(x − 1) ist x = 1 ausgeschlossen. Nach dem Faktorisieren darfst du x − 1 kürzen und erhältst x + 1, aber weiterhin nur für x ≠ 1. Ein vereinfachter Ausdruck erweitert nicht automatisch den ursprünglichen Definitionsbereich.

Von der Termumformung zur Gleichung

Bei 3(x − 2) = 12 teilst du beide Seiten durch 3: x − 2 = 4. Danach addierst du auf beiden Seiten 2: x = 6. Probe: 3(6 − 2) = 12. Rechenschritte auf beiden Seiten müssen die Gleichheit erhalten; durch einen möglicherweise null werdenden Ausdruck darfst du nicht einfach teilen.

Übungsaufgaben

Vereinfache 4x − 3 + 2x + 8.
Löse −2(3x − 5) auf.
Faktorisiere x² − 9.
Löse 2(x + 3) = 14 und mache eine Probe.

Lösungen anzeigen

6x + 5.
−6x + 10.
(x − 3)(x + 3).
x + 3 = 7, also x = 4. Probe: 2 · 7 = 14.

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Rechnen

Bruchrechnung

Beitragsautor Von admin
Beitragsdatum Dezember 30, 2020
2 Kommentare zu Bruchrechnung

Lernziel: Du kannst Brüche kürzen, erweitern und mit ihnen rechnen. Außerdem erkennst du denselben Anteil als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl.

Zähler und Nenner

Der Bruch 3/4 bedeutet: Ein Ganzes wird in vier gleich große Teile geteilt, davon werden drei genommen. Die 3 heißt Zähler, die 4 Nenner. Ein Bruch ist zugleich eine Division: 3 : 4 = 3/4. Ein Nenner darf niemals 0 sein.

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich 0. Beim Kürzen teilst du beide durch denselben gemeinsamen Faktor. Der Wert des Bruches bleibt gleich.

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot5}{4\cdot5}=\frac{15}{20},\qquad \frac{18}{24}=\frac{3}{4}$

Addieren und Subtrahieren

Du brauchst einen gemeinsamen Nenner. Dann addierst oder subtrahierst du nur die Zähler; der Nenner bleibt stehen. Ein gemeinsamer Nenner muss nicht der kleinste sein, der kleinste macht die Rechnung aber oft kürzer.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Du darfst gemeinsame Faktoren vorher kürzen. Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruches. Der Divisor darf nicht 0 sein.

$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5},\qquad \frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$

Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Prozent bedeutet „von hundert“: 20 % = 20/100 = 1/5 = 0,2. Um 20 % von 17 zu berechnen, multiplizierst du 17 mit 0,2. Das Ergebnis ist 3,4. Eine Dezimalzahl erhältst du aus einem Bruch durch Division des Zählers durch den Nenner.

Bruch	Dezimalzahl	Prozent
1/2	0,5	50 %
1/4	0,25	25 %
3/4	0,75	75 %
1/5	0,2	20 %

Typische Fehler: 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Und Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren erlaubt, nicht über einzelne Summanden hinweg.

Übungsaufgaben

Berechne 2/5 + 1/10.
Berechne 3/4 · 8/9.
Berechne 5/6 : 10/3.
Wie viel sind 15 % von 80?

Lösungen anzeigen

4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2.
24/36 = 2/3.
5/6 · 3/10 = 15/60 = 1/4.
0,15 · 80 = 12.

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Rechnen

Potenzen und Wurzeln

Lernziel: Du kannst Potenzen berechnen, Potenzgesetze anwenden und Wurzeln als Potenzen schreiben. Voraussetzung: Multiplikation und Bruchrechnung.

Was bedeutet eine Potenz?

In 2⁴ ist 2 die Basis und 4 der Exponent. Ein positiver ganzzahliger Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Achtung: Das ist nicht 2 · 4.

Die wichtigsten Potenzgesetze

Für die folgende Regelsammlung nehmen wir positive Basen x und y an. Damit sind auch gebrochene Exponenten eindeutig als reelle Zahlen definiert.

$x^0=1,\qquad x^1=x,\qquad x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

$x^m x^n=x^{m+n},\qquad \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n},\qquad (x^m)^n=x^{mn}$

$(xy)^n=x^ny^n,\qquad \left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}$

Bei der Multiplikation mit gleicher Basis addierst du die Exponenten; beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie. Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert: 2⁻³ = 1/8.

Wurzeln als Potenzen

$\sqrt[n]{x}=x^{1/n},\qquad \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}\quad(x>0,\ n\in\mathbb N,\ n\geq2)$

Beispiel: 16^1/2 = √16 = 4 und 8^2/3 = (∛8)² = 4. Bei geraden Wurzeln sind negative Radikanden in den reellen Zahlen nicht erlaubt. Die Quadratwurzel bezeichnet immer die nichtnegative Lösung: √9 = 3.

Vorzeichen, Null und typische Fehler

(−3)² = 9, aber −3² = −9: Die Klammer entscheidet, ob das Minus mit potenziert wird.
Für x ≠ 0 gilt x⁰ = 1. Der Ausdruck 0⁰ ist in dieser Schulregelliste nicht definiert. Negative Exponenten sind bei der Basis 0 ebenfalls nicht definiert.
Potenzen verteilen sich im Allgemeinen nicht über Summen: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13.
Für jede reelle Zahl x gilt √(x²) = |x|. Beispiel: √((−5)²) = 5.

Übungsaufgaben

Berechne 3² · 3⁴.
Vereinfache (x³)²/x⁴ für x > 0.
Berechne 25^1/2, 2⁻⁴ und (−2)³.
Erkläre, warum √(a + b) nicht allgemein √a + √b ist.

Lösungen anzeigen

3⁶ = 729.
x⁶/x⁴ = x².
5; 1/16; −8.
Gegenbeispiel a = b = 1: links √2, rechts 2.